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高等代数已知一个矩阵正定，判断另一个矩阵是否正定，如果正定，试证

2006-03-15 12:06:31x***
已知一个矩阵正定，判断另一个矩阵是否正定，如果正定，试证明。（其中另一个矩阵的元素都是原来矩阵元素的平方） 高等代数已知一个矩阵正定，判断另一个矩阵是否正定，如果正定，试证明。（其中另一个矩阵的元素都是原来矩阵元素的平方）：只讨论实正定矩阵，复正定矩阵的原理一样。 ?

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  •   只讨论实正定矩阵，复正定矩阵的原理一样。 定理：设An=（aij），Bn=（bij），为n阶正半定矩阵， 则Cn=（aij*bij）为n阶正半定矩阵。 这个定理的证明和下面的命题的证明完全一样，我不做了， 你可模仿下面的命题的证明做，只不过将正定矩阵换成正半定矩阵。
       命题：设An为n阶正定矩阵，B（An）n阶方阵的元素都是A矩阵元素的平方。 则B（An）为正定矩阵。 证：对n归纳。 1。n=1，显然。 2。设n=k时，命题成立。 设A（k+1）=（a（i，j））为k+1阶正定矩阵，记 A（k+1）= Ak，C C^t,d 其中Ak为k阶正定矩阵，C为k阶列向量，C^t为C的转置， d=a（k+1，k+1））。
       则 B（A（k+1））= B（Ak），D D^t, d^2 其中由归纳法的假设，得B（Ak）为k阶正定矩阵， D为k阶列向量，D^t为D的转置。 3。A（k+1）为k+1阶正定矩阵《==》 有k+1阶正线下三角矩阵R，使A（k+1）=R^tR R= R11， 0 [R12]^t，√d 其中R11为k阶矩阵，R12为k阶列向量，[R12]^t为R12的转置。
       ==》Ak=[R11]^t[R11]+[1/d]CC^t==》 dAk-CC^tAk=d[R11]^t[R11]为k阶正定矩阵。 dAk-CC^tAk=（d*a（i，j）-a（i，k+1）*a（j，k+1）） 设e（i，j）=d*a（i，j）-a（i，k+1）*a（j，k+1） 4。
      由归纳法的假设，得（e（i，j）^2）为k阶正定矩阵《==》 f（i，j）=d^2*a（i，j））^2-a（i，k+1））^2*a（j，k+1））^2= =e（i，j）^2+2a（i，k+1）*a（j，k+1）*e（i，j） （a（i，k+1）*a（j，k+1））=CC^t为正半定矩阵。
       使用前面的定理得 2（a（i，k+1）*a（j，k+1）*e（i，j））为正半定矩阵。 我们知道正半定矩阵+正定矩阵=正定矩阵得 （f（i，j））为正半定矩阵《==》 有k阶正线下三角矩阵Q，使（f（i，j））/d^2=Q^tQ （f（i，j）/d^2）= a（i，j））^2-a（i，k+1））^2*a（j，k+1））^2/d^2= =B（Ak）-DD^t/d^2 ==》 B（A（k+1））= B（Ak），D D^t, d^2 =P^tP 其中P= Q， 0 D^t/d，d Pk+1阶正线下三角矩阵《==》B（A（k+1）） 为k+1阶正定矩阵。
       命题得证。 注意：前面的定理可得下面定理。 定理2：设An=（aij），Bn=（bij），为n阶正定矩阵， 则Cn=（aij*bij）为n阶正定矩阵。 。
    2006-03-16 22:08:30
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