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刘老师我想问一下范德蒙德行列式在现实生活中的应用有哪些，同时还有?

2018-06-06 02:27:32R***
刘老师我想问一下范德蒙德行列式在现实生活中的应用有哪些，同时还有它的现状：第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n阶范德蒙德行列式，<?

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  •   第2讲 范德蒙德行列式的几点应用
    我们知道，n阶范德蒙德行列式
    ，
    当这些 两两互异时， ．这个事实有助于我们理解不少结果．
    例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．
    证 设 有 个互异的零点 ，则有
    ， ．
    即
    这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
    ，
    因此 ．这个矛盾表明 至多有n个互异根．
    例2 设 是n个两两互异的数．证明对任意n个数 ，存在惟一的次数小于n的多项式 ：
    ，
    使得 ， ．
    证 从定义容易看出 的次数小于n，且 ，故只需证明唯一性即可．
    设 满足
    ， ，
    即
    这个关于 的线性方程组的系数行列式
    ，
    故 是唯一的，必须 ．
    这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．
    例3 设 是 个复系数多项式，满足
    ，
    证明 ．
    证 设 ，取 ，分别以 代入，可得
    这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
    ，
    因此 ．
    例4 设n是奇数， 是 个复系数多项式，满足
    ，
    证明 ．
    证 注意到当n是奇数时，
    ，
    可按照例3的思路完成证明．
    例5 设A是个n阶矩阵，证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关．
    证 设 是A的两两不同的r个特征值，非零向量 适合
    ， ，
    假设
    ，
    那么有
    ， ．
    即
    ，
    注意到
    ，
    必须 ，于是 ，这证明了 线性无关．
    例6 计算行列式
    ，
    其中 ．
    解 注意到下面的等式：
    即得
    ．
    例7 计算行列式
    ，
    其中 ．
    解 直接利用例6可得
    ．
    例8 设 是正整数，证明n阶行列式
    能被 整除．
    证 直接运用例6、例7可得
    能被 整除．
    例9 计算n阶范德蒙德行列式
    ，
    其中 ．
    解 注意到 当且仅当 ，可得
    ，
    由此 ， 的模 ．现在来确定 的幅角：令 ， ，故
    对于上面考虑的j和k，总有 ，这意味着 ，因此
    ，
    由此可设 ，其中
    这样就求得了 ．
    例10 证明缺项的n阶范德蒙德行列式
    证 按 的第一行展开行列式，可得
    例11 设有n个常数 ，n个两两不同的常数 以及由x的恒等式
    定义的一个多项式 ．对于一个已知多项式 ，定义另一个多项式 ，它为上面的恒等式中将 分别代之以 所得的x的恒等式所确定．证明用多项式 除以 所得的余式为 ．
    证 由于n阶范德蒙德行列式
    ，
    按题设这里的行列式的最后一列展开，可知 是个次数小于n的多项式．从条件知对每个 ，
    ，
    必须 ， ．由拉格朗日插值公式知
    ．
    同理可求出由恒等式
    所定义的多项式
    ．
    设 ，其中 的次数小于n．为证 ，只需证明 时， 即可．事实上，对每个 ， 是易见的，因此结论成立．
    例12 设 在 上连续，在 内存在2阶导数，证明在 上有
    ，
    这里 ．
    特别地，存在 ，使
    ．
    证 在 上构造函数
    ，
    则 在 上连续，在 内存在2阶导数．因 ，由中值定理存在 ，使 ，故再运用一次中值定理，存在 ，使 ，即
    ，
    展开行列式即得
    ．
    特别地，取 ，则有相应的 ，使上式成立，即
    ，
    化简即得
    ．
    例13 设 在 内存在 阶导数， ．证明存在 ，使
    ．
    证 在 上构造函数
    ，
    在 内存在 阶导数．因 ，反复利用微分中值定理，存在 ，使 ，即
    ．
    按第一行展开行列式得
    ，
    左边按最后一列展开行列式，化简可得
    ．
    例14 设 在 内存在n阶导数，这里 ．证明存在 ，使
    ．
    证 置 ， ，则 ．于是例14在本质上是例13的特殊情形．。
      
    2018-06-06 04:55:44
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