经过抛物线y^2=2px(p>0)的顶点Ｏ作两条互相垂直的?
2010-11-25 17:53:291***
经过抛物线y^2=2px(p>0)的顶点Ｏ作两条互相垂直的线段OA和OB，求线段AB中点Ｍ的轨迹方程.
经过抛物线y^2=2px(p0)的顶点Ｏ作两条互相垂直的线段OA和OB，求线段AB中点Ｍ的轨迹方程.：设直线OA斜率为k,则直线OB的斜率为-1/k.
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设直线OA斜率为k,则直线OB的斜率为-1/k.
直线OA: y=kx,代入y^2=2px, A(2p/(k^2),2p/k)
直线OB: y=-x/k,代入y^2=2px, B(2pk^2,-2pk)
设AB中点M(x,y)
x=[2p/k^2+2pk^2]/2=p/k^2+pk^2,y=[2p/k-2pk]/2=p/k-pk
线段AB的中点M的轨迹的参数方程
x=p/k^2+pk^2,y=p/k-pk(k为参数)
可化为 y^2=px-2p
2010-11-25 18:11:23
解：
依题意可设A(m^2/2p,m),B(n^2/2P,n).
因OA⊥OB,即
(m-0)/(m^2/2P-0)×(n-0)/(n^2/2p-0)=-1
→mn=-4P ......(1)
又,设AB中点为M(x,y),则依中点公式得
m+n=2y ......(2)
m^2/2p+n^2/2p=2x
→m^2+n^2=4px ......(3)
由(2)^2-(3),得
2mn=4y^2-4px
即mn=2y^2-2px ......(4)
比较(1)、(4),得
2y^2-2px=-4P
即弦AB中点轨迹为y^2=px-2p
这是以(2,0)为顶点,((P/4)-2,0)为焦点的抛物线.
2010-11-25 20:00:15
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