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一个非常诡异的题目在一个半径为1的圆内作任一弦，求弦长大于圆内接

2011-04-20 18:46:291***
在一个半径为1的圆内作任一弦，求弦长大于圆内接正三角形边长的概率。(没有标准答案)一个非常诡异的题目在一个半径为1的圆内作任一弦，求弦长大于圆内接正三角形边长的概率。(没有标准答案)：楼主说的是概率论中几何概率中的贝特郎（Bertrand）奇?

最佳回答

  • 楼主说的是概率论中几何概率中的贝特郎（Bertrand）奇论 这道题不同解法会导致不同答案，对几何概率的提出进行批评，也说明采用等可能性定义概率的各种困难，这将涉及更深层的概率论知识，我也还没有学... 本题有几种解释，都合理，但都不正确，原因是概率的定义存在问题。 解法一： 把一点先固定在圆周，以此点为顶点做一个等边三角形，显然只有落入三角形内的弦满足，故概率为1／3 解法二：考虑弦长与圆心距关系，且与方向无关，假设它垂直于某一直径，当且仅当它与圆心距离小于1／2时，其长大于根号3（圆内接正三角形边长）概率为1／2 解法三： 弦被其中点唯一确定，当且仅当中点属于半径的1／2的同心圆内，弦长大于根号3，此时小圆面积为1／4，故概率为1／4 以上只为常见三个，还有其他的lz可baidu 贝特朗奇论或查阅1899年贝特朗出版的《概率论》。。。。
    2011-04-24 22:00:20
  • 标准答案 1/3
    2011-04-24 14:26:41
  •   其实这问题超出了一般学生的理解能力了, 之前有好多类似的帖子。。。 有空得总结一下。 问题的症结在于概率的直观理解和数学理解的差异。 不过我也不是学概率的, 只能大概谈自己的理解。 因为我们平时大多面对的是古典概型, 很自然地把概率和频率对应上, 也很自然地将概率 0 与不可能, 概率 1 与必然 画上等号。
       然而在面对无限的问题上, 很多有限的, 古典的处理手法并不适用。 我们已经有太多这样的例子了。 对 LZ 问题的解答, 我们通常引用几何概型来说, 譬如 LS 几位老师的例子, 在一个区间上任取一点的概率为零, 但这件事情又的确可能发生。
       这就好比一条线段上的一点, 它是确实存在的, 但是长度为零。 我们能用长度为零来说明这个点不存在吗? 很明显是不行的。 同样的, 概率为 0 也不能说明这件事不能发生。通常来说, 把一个粉笔头扔到地上, 你不会估算一个粉笔头落在某点的概率, 而是估算落在某个区域内的概率。
       因此几何概型与人们的直观也不会相离太远。 更进一步的理解是, 直观上的概率和公理化的概率是有区别的。 数学上的概率是用测度来刻画的, 通俗来说就是长度, 面积, 体积等等, 数学上把概率完全等同于测度。 我们说一个点的长度是零, 因此在一个区间均匀地随机选点恰好选到指定的点的概率是零, 这简直是按数学上的需要直接"定义"出来的。
       而从一个区间均匀地随机选点,选出有理点的概率也是零, 因为有理点在某一个区间中的"测度"是零, 也是定义出来的 ( 甚至对代数数也是这样), 这跟直观上对概率的理解已经有差异。 ( 甚至对均匀的定义也要用数学的方法来说明, 我们完全可以定义出另外一种概率模型使得在一个区间中选得某个点的概率是 50% )。
       但这是因为数学的需要而采取这样的处理, 而不一定事实上的确是这样。 只是因为这样的处理大部分时候都能应用到实际生活中, 同时在数学上建立了严格的基础, 因此数学家都采取了这种方式。 。
    2011-04-22 13:12:12
  • 1/3 再圆上任取一点为弦的起点，同时以此点为圆内接正三角形的一个顶点，弦的另一点应在三角形其余两顶点之间，概率为其余两定点之间弧长和圆周长之比。
    2011-04-22 10:03:02
  • 我认为是0 因为 园内最长的弦是过圆心点的弦，为2 而圆的内接正三角形边长为2.4 所以 弦长大于圆内接正三角形边长的概率为0
    2011-04-20 20:21:10
  • 我认为是1/3
    2011-04-20 19:54:30
  • 1）弦心距<1/2的弦长大于圆内接正三角形边长，其概率=1/2； 2）过定点A的弦，其长度大于圆内接正三角形ABC边长,落在角BAC内，其概率=60/180=1/3. 由于等可能的假设不同，所以结论也不同。这是连续概率问题中常见的事。
    2011-04-20 19:31:02
  • 圆内接正三角形的边长是根号3 弦长的范围是大于0小于2 所以弦长大于边长的概率是（2-根号3）除以2 个人意见，仅供参考
    2011-04-20 19:29:29
  • 六分之一。因为圆内接正三角形每个角对应的圆弧的角度是60度，要想弦长大于边长，弦必须处于三角形中任意一个角所对应的扇形面内，因此概率为：60/360=1/6。
    2011-04-20 19:24:08
  • 答案是 1/3 吧 画图比较好解答。。以正三角形的顶点为基点做任意弦。。只有在正三角形的60度角内的弦才大于正三角形边长。。其余都小于正三角形边长。。所以就是60/180=1/3
    2011-04-20 19:19:43
  • 0 既然没有标准答案，我瞎扯
    2011-04-20 18:51:13
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