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牛顿线完全四边形的对角线的中点共线

2018-02-01 23:30:41查***
完全四边形的对角线的中点共线牛顿线完全四边形的对角线的中点共线： 引理 在四边形ABCD中，M、N分别是对角线ＡＣ、ＢＤ的中点，又ＡＤ、ＢＣ的延长线相交于点Ｐ。则三角形ＰＭＮ的面积是?

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  •    引理 在四边形ABCD中，M、N分别是对角线ＡＣ、ＢＤ的中点，又ＡＤ、ＢＣ的延长线相交于点Ｐ。则三角形ＰＭＮ的面积是四边形ABCD的面积的四分之一 引理证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。 则ME∥BC,MF∥AD,NE∥AD,NF∥BC，所以四边形EMFN为平行四边形。
       由于NF∥BC，所以得: S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4。 (1) 同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4。 (2) 由于有 S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2。
      (3) 所以只需证明: S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2。 (4) 延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以 S(ENHG)=S(ABD)/2。
       同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。 故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2。 所以(4)式成立，将(4)式代入(3)式即得所得结论。 设BA,CD交于Q,则由引理得: 4S(QMN)=S(ABCD)。
       4S(PMN)=S(ABCD)。 设MN交PQ于L,由于 S(PMN)=S(QMN) 所以P,Q到MN的距离相等, 从而L是对角线PQ的中点。 直线MN称为完全四边形的牛顿线。 。
    2018-02-01 23:34:41
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