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已知为常数,,函数,.(其中是自然对数的底数)()过坐标原点作曲?

2018-05-06 17:44:57f***
已知为常数,,函数,.(其中是自然对数的底数)
()过坐标原点作曲线的切线,设切点为,求证:;
()令,若函数在区间上是单调函数,求的取值范围.已知为常数,,函数,.(其中是自然对数的底数)()过坐标原点作曲线的切线,设切点...已知为常数,,函数,.(其中是自然对数的底数)()过坐标原点作曲?

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  •   先对函数求导,,可得切线的斜率,即,由是方程的解,且在上是增函数,可证
    ()由,,先研究函数,则。
    由在上是减函数,可得,通过研究的正负可判断的单调性,进而可得函数的单调性,可求
    解:。
       (分)
    所以切线的斜率,
    整理得。(分)
    显然,是这个方程的解,又因为在上是增函数,
    所以方程有唯一实数解。故。(分)
    (),。(分)
    设,则。
      
    易知在上是减函数,从而。 (分)
    当,即时,,在区间上是增函数。
    ,在上恒成立,即在上恒成立。
    在区间上是减函数。
    所以,满足题意。 (分)
    当,即时,设函数的唯一零点为,
    则在上递增,在上递减。
      又,。
    又,
    在内有唯一一个零点,
    当时,,当时,。
    从而在递减,在递增,与在区间上是单调函数矛盾。
    不合题意。
    综合得,。
       (分)
    考查学生利用导数研究函数的单调能力,函数单调性的判定,以及导数的运算,试题具有一定的综合性。
      
    2018-05-06 19:52:48
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