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椭圆x^2a^2+y^2椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(

2008-01-10 22:42:091***
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线X+Y=1相交于AB两点,OA垂直OB求证:满足上述条件的各椭圆过定点(根号2/2,根号2/2) 若椭圆的长轴长的取值范围是[根号5,根号6],求椭圆离心率的取值范围椭圆x^2a^2+y^2椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)与直线X+Y=1相交于AB两点,OA垂直OB求证:满足上述条件的各椭圆过?

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  • 设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1,x2是x^2/a^2+y^2/b^2=1和X+Y=1联立方程的2根. 联立方程得：(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2*b^2=0. x1x2=(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2),x1+x2=2a^2/(a^2+b^2). OA垂直OB==>x1x2+y1y2=0,y=1-x.前式计算整理得（分子）：a^2+b^2-2a^2*b^2=0==>b^2=a^2/(2a^2-1). 则x^2/a^2+y^2/b^2=1==>x^2/a^2+y^2(2-1/a^2)=1==>(1/a^2)*(x^2-y^2)+(2y^2-1)=0.令2y^2-1=0，x^2-y^2=0得x=y=(+,-)2^0.5/2. 5^0.51/33^0.5/3<=e<=2^0.5/2.
    2008-01-11 16:26:48
  •   证明：将直线方程y=-x+1代入椭园方程得 b²x²+a²(-x+1)²=a²b² 即(a²+b²)x²-2a²x+a²(1-b²)=0 故xA+xB=2a²/(a²+b²)=2a²/(2a²-c²)=2/(2-e²) xAxB=a²(1-b²)/(a²+b²)=a²(1-b²)/(2a²-c²) =(1-b²)/(2-e²) yAyB=(-xA+1)(-xB+1)=xAxB-(xA+xB)+1 =(1-b²)/(2-e²)-2/(2-e²)+1 =(1-e²-b²)/(2-e²) ∵OA⊥OB,∴向量OA•向量OB=xAxB+yAyB=0 即(1-b²)/(2-e²)+(1-e²-b²)/(2-e²)=0 即2-e²-2b²=0 ∴b²=(2-e²)/2 再由b²=a²-c²=a²(1-e²) 得a²=b²/(1-e²)=(2-e²)/2(1-e²) 故椭园方程为2(1-e²)x²/(2-e²)+2y²/(2-e²)=1 用x=y=√2/2代入,左边=(1-e²)/(2-e²)+1/(2-e²)=1=右边。
       ∴满足条件,具有不同离心率e的所有椭园都过(√2/2,√2/2)点。
       若√5≤a≤√6,即5≤a²≤6,也就是5≤(2-e²)/2(1-e²)≤6 ∵e＜1,∴1-e²＞0,因此可去分母得10(1-e²)≤2-e²≤12(1-e²) 由10(1-e²)≤2-e²,得e²≥8/9,即e≥2√2/3 由2-e²≤12(1-e²),得e²≤10/11,即e≤√(10/11) 即2√2/3≤e≤√(10/11)为所求。
    2008-01-11 19:01:32
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