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已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为原点，?

2008-11-04 00:01:26s***
已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为原点，若|AO|=|BO|，△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是 。已知A、B是抛物线y2=2px(p0)上两点，O为原点，若|AO|=|BO|，△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是。：已知A、B是抛物线?

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  •   已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为原点，若|AO|=|BO|，△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是 如图 依据抛物线y^2=2px的对称性知，当|AO|=|BO|时，AB关于x轴对称。即，x轴垂直平分AB。
       因为A、B在抛物线上，所以：设A(a^2/2p,a^2)，则：B(a^2/2p,-a^2) 则，OB所在直线的斜率Kob=[0-(-a^2)]/[0-(a^2/2p)]=-2p 则，过A点垂直于OB的直线AC的斜率Kac=-1/Kob=1/(2p) 那么，直线AC的方程为： y-a^2=(1/2p)[x-(a^2/2p)] 即：y=(1/2p)x+a^2-(a^2/4p^2) 该直线过抛物线的焦点(p/2,0)，代入上式，得到： 0=(1/2p)(p/2)+a^2-(a^2/4p^2) ===> 0=(1/4)+a^2-(a^2/4p^2) ===> 0=p^2+4p^2*a^2-a^2 ===> a^2=p^2/(1-4p^2) 所以，A、B两点的横坐标为x=a^2/2p=[p^2/(1-4p^2)]/(2p) =p/(2-8p^2) 所以，直线AB的方程为：x=p/(2-8p^2)。
      
    2008-11-04 02:21:39
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