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中考数学-如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°?

2011-05-14 15:39:01d***
【中考数学】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD交于点P，且AB=BD，AP=4PC=4，则cos∠ACB= 。 【中考数学】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD交于点P?

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  •   以下sqrt(x)表示x的算术平方根,PD^2表示PD的平方。 答案:sqrt(3)/3 解:作BE⊥AD于E,交AC于O,则BE//CD。 由AB=BD得E是AD的中点,因此OE是△ACD的一条中位线,从而O是AC的中点。 以O为圆心,OA为半径作圆,则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A、B、C、D四点。
      易知 AP=4,PC=1,AC=AP+PC=5。 因此 OA=OC=AC/2=2。5。 OP=OC-PC=1。5。 由BE//CD得 BP/PD=OP/PC=1。5 因此BP=1。5PD,从而 AB=BD=BP+PD=2。5PD。
      
       由相交弦定理得 BP·PD=AP·PC=4 即 1。5PD^2=4 因此 PD^2=8/3 从而 AB^2=(2。5PD)^2=6。25PD^2=50/3 由勾股定理得 BC^2=AC^2-AB^2=5^2-50/3=25/3 因此 BC=5sqrt(3)/3 从而 cos∠ACB=BC/AC=sqrt(3)/3。
    2011-05-14 17:01:34
  •   我的方法可能比较麻烦。 解：过B作BE⊥AD于E交AC于O，过P作PQ⊥AD于Q。 因为∠ABC=∠ADC=90度，所以ABCD四点共圆，AC为直径，∠ACB=∠ADB；又因为AB=BD，所以∠ADB=∠DAB，∠ACB=∠DAB。因为AB=BD，BE为高，因此BE也是△ABD的中线，故BE垂直平分AD，由垂径定理知BE过圆心，又因为AC也是直径，因此交点O是圆心。
      由AP=4PC=4，易得PC=1，OA=OB=5/2。 设OE=x，因为△AOE∽△APQ，AO/AP=5/8，因此AE/AQ=OE/PQ=5/8，∴PQ=5/8 x，DQ/EQ=2/3，DQ/DE=2/5。 再由△DPQ∽△DBE得PQ/BE=DQ/DE=2/5，即（5/8 x）/（5/2+x）=2/5，解得x=5/6。
       在Rt△AOE中，由勾股定理得AE^2=50/9，AE=（5√2）/3；因为BE^2=100/9，所以AB=（5√6）/3，故cos∠ACB=cos∠DAB=AE/AB=（√3）/3。
    2011-05-14 16:33:29
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