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函数题目已知函数f(x)=e^x-ax-1(a>0，e为自

2013-02-22 13:04:11s***
已知函数f(x)=e^x-ax-1(a>0，e为自然对数底数). (1)求f(x)最小值； (2)若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求实数a值； (3)在(2)的条件下，证明:(1/n)^n+(2/n)^n+···+((n-1)/n)^n+(n/n)^n<e/(e-1)(其中，n∈N*)。函数题目已知函数f(x)=e^x-ax-1(a0，e为自然对数底数).(1)求f(x)最小值；(2)若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求实数a值；(3)?

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  •   (1)由题意a>0，f'(x)=e^x-a， f'(x)=0→x=㏑a。 当x∈(-∞，㏑a)时，f'(x)0。 ∴f(x)在(-∞，+㏑a)上单调递减，在(㏑a，+∞)上单调递增。 即f(x)在x=㏑a处取得极小值，且为最小值， 其最小值为:f(a)=a^㏑a-a㏑a-1=a-a㏑a-1。
       (2)f(x)≥0对任意x∈R恒成立，即在x∈R上，f(x)|min≥0。 由(1)，设g(a)=a-a㏑a-1→g(a)≥0。 g'(a)=1-㏑a-1=0→a=1。 易知g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， ∴g(a)在a=1处取得最大值， 而g(1)=0，故g(a)≥0的解为a=1。
       ∴a=1。 (3)由(2)知，对任意实数x均有 e^x-x-1≥1→1+x≤e^x。 令x=-k/n(n∈R＊，k=0，1，2，3，···，n-1)， 则0<1-k/n≤e^(-k/n)。 ∴(1-k/n)^n≤[e^(-k/n)]^n=e^(-k)。
       ∴(1/n)+(2/n)^n+···+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n    证毕。 。
    2013-03-03 16:50:44
  • (1)求导 f'(x)=e^x-a=0 x=lna xlna,f'(x)>0 f(lna)=a-alna-1 (2)a-alna-1=0 设g(x)=x-xlnx g'(x)=lnx g(1)=0 g'(1)=0 x1 g'(x)>0 g(x)最小值g(1)=0 故g(x)=0有唯一解x=1 即a=1 (3)由（2）e^x ≥ x + 1 (1/n)^n = (1 + (1 - n)/n)^n < e^(1-n) (2/n)^n = (1 + (2 - n)/n)^n < e^(2-n) .... 左右两边分别相加 右边用等比数列求和，得证
    2013-02-22 14:40:29
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