一道概率题从正整数中随机地选取两数,求此两数互素的概率
2006-05-09 10:44:32j***
从正整数中随机地选取两数,求此两数互素的概率。一道概率题从正整数中随机地选取两数,求此两数互素的概率。:1.设μ为麦比乌斯函数,φ为欧拉函数,
[]为取整函数,|表示整除,Sn={1,2,。。。,n}。
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所以两个数互素的概率=Lim{n→∞}{∑{1≤k≤n}φ(k)}/{(n-1)n/2} 3。我们知道:φ(k)=∑{d|k}μ(d)(k/ d)==> ∑{1≤k≤n}φ(k)=∑{1≤k≤n}[∑{d|k}μ(d)(k/ d)] 交换求和顺序得: ∑{1≤k≤n}φ(k)= =∑{1≤d≤n}[μ(d)∑{d|k,k≤n}(k/ d)]= =∑{1≤d≤n}μ(d)[n/d]([n/d]+1)/2= =(n^2/2)∑{1≤d≤n}μ(d)/d^2+o(n^(3/2)。
所以两个数互素的概率= Lim{n→∞}{∑{1≤k≤n}φ(k)/[(n-1)n/2]}= =∑{1≤d≤∞}μ(d)/d^2= =∏{p为所有素数}(1-1/p^2)= =1/[∑{1≤d≤∞}1/d^2]=6/(π^2)≈0。
6793。 补: 1。你对,我改了。 2。麦比乌斯函数μ: μ(1)=1, n=(p1)^(α1)*。。*((ps)^(αs) μ(n)=(-1)^(s),α1=。。=αs=1 μ(n)=0,其他。 欧拉函数φ(n)=0,1,。
。,n-1中和n互质的数的个数。 若n=(p1)^(α1)*。。*((ps)^(αs), φ(n)=n(1-1/p1)*。。*((1-1/ps)。 3.若对d求和,∑{d|k}表示对整除k的整数求和。 如: ∑{d|6}d=1+2+3+6,∑{d|9}d^2=1^2+3^2+9^2。
若对k求和,∑{d|k,k≤n}表示对d倍数的整数求和。 如: ∑{3|k,k≤20}k=3+6+9+12+15+18。 o(n^(3/2))表示 Lim{n→∞}o(n^(3/2))/ n^(3/2)=0,称为小o。 。
2006-05-09 11:09:34
所以两个数互素的概率=Lim{n→∞}{∑{1≤k≤n}φ(k)}/{(n-1)n/2}第一章 事件与概率 1、在某城市中,共发行三报纸A,B,C。在这城市的居民中,订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A,C的占8%,同时订购B,C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,试求下列百分率:(1)只订购A的;(2)只订购A及B的;(3)只订购一种报纸的;(4)正好订购两种报纸的;(5)至少订购一种报纸的;(6)不订购任何报纸的。
A,B,C是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 。 3、试把 表示成n个两两互不相容事件的和. 4、在某班学生中任选一个同常驻事件A表示选到的是男同学,事件B表示选到的人不喜欢唱歌,事件C表示选到的人是运动员.(1)表述 及 ;(2)什么条件下成立 ;(3)何时成立 ;(4)何时同时成立 及 . 5、用模球模型造一例,指出样本空间及各种事件运算。
6、若A,B,C,D是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A,B都发生而C,D都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。 7、从0,1,2,…,9中随机地取出5个数(可重复),以Ei记某此数正好出现i次这一事件(例如52353,既属于E1,也属于E2及E0),试用图文表示E0,E1,…,E6的关系。
8、证明下列等式:(1) ; (2) ; (3) 。 9、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。
11、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n只白球,n只黑球,n只红球的袋中,任取m只球,求其中白、黑、红球分别有 只的概率。 13、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。
现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码 ,N的球的箱子中有放回地摸了n次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 15、在上题中这些号码按上升(不一定严格)次序排列的概率。 16、任意从数列 ,N中不放回地取出n个数并按大小排列成: ,试求 的概率,这里 。
17、上题中,若采用有入回取数,这时 ,试求 的概率。 18、从6只不同的手套中任取4只,问其中恰有一双配对的概率是多少? 19、从n双不同的鞋子中任取2r(2r ∑{1≤k≤n}φ(k)=∑{1≤k≤n}[∑{d|k}μ(d)(k/ d)] 交换求和顺序得: ∑{1≤k≤n}φ(k)= =∑{1≤d≤n}[μ(d)∑{d|k,k≤n}(k/ d)]= =∑{1≤d≤n}μ(d)[n/d]([n/d]+1)/2= =(n^2/2)∑{1≤d≤n}μ(d)/d^2+o(n^(3/2)。
所以两个数互素的概率= Lim{n→∞}{∑{1≤k≤n}φ(k)/[(n-1)n/2]}= =∑{1≤d≤∞}μ(d)/d^2= =∏{p为所有素数}(1-1/p^2)= =1/[∑{1≤d≤∞}1/d^2]=6/(π^2)≈0。
6793。 补: 1。你对,我改了。 2。麦比乌斯函数μ: μ(1)=1, n=(p1)^(α1)*。。*((ps)^(αs) μ(n)=(-1)^(s),α1=。。=αs=1 μ(n)=0,其他。 欧拉函数φ(n)=0,1,。
。,n-1中和n互质的数的个数。 若n=(p1)^(α1)*。。*((ps)^(αs), φ(n)=n(1-1/p1)*。。*((1-1/ps)。 3.若对d求和,∑{d|k}表示对整除k的整数求和。 如: ∑{d|6}d=1+2+3+6,∑{d|9}d^2=1^2+3^2+9^2。
若对k求和,∑{d|k,k≤n}表示对d倍数的整数求和。 如: ∑{3|k,k≤20}k=3+6+9+12+15+18。 o(n^(3/2))表示 Lim{n→∞}o(n^(3/2))/ n^(3/2)=0,称为小o。 。
2006-05-13 16:32:26
2006-05-13 00:42:38
2006-05-09 20:59:35
所以两个数互素的概率=Lim{n→∞}{∑{1≤k≤n}φ(k)}/{(n+1)n/2} 3。我们知道:φ(k)=∑{d|k}μ(d)(k/ d)==> ∑{1≤k≤n}φ(k)=∑{1≤k≤n}[∑{d|k}μ(d)(k/ d)] 交换求和顺序得: ∑{1≤k≤n}φ(k)= =∑{1≤d≤n}[μ(d)∑{d|k}(k/ d)]= =∑{1≤d≤n}μ(d)[n/d]([n/d]+1)/2= =(n^2/2)∑{1≤d≤n}μ(d)/d^2+o(n^(3/2)。
所以两个数互素的概率= Lim{n→∞}{∑{1≤k≤n}φ(k)/[(n+1)n/2]}= =∑{1≤d≤∞}μ(d)/d^2= =∏{p为所有素数}(1-1/p^2)= =1/[∑{1≤d≤∞}1/d^2]=6/(π^2)≈0。
6793。 。
2006-05-09 14:00:15
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