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证明三角形一角的顶点与外接圆圆心的连线平行于这角对边中点与过三边?

2008-08-20 10:43:06小***
证明三角形一角的顶点与外接圆圆心的连线平行于这角对边中点与过三边中点之圆圆心的连线证明三角形一角的顶点与外接圆圆心的连线平行于这角对边中点与过三边中点之圆圆心的连线。已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA中点，O为△ABC外接圆的圆心，O′为过D、E、F之圆的圆心。 求证：AO//O′E。 证明三角形一角的顶点与外接圆圆心的连线平行于这角对边中点与过三边中点之圆圆心的连线证明三角形一角的顶点与外接圆圆心的连线平行于这角对边中点与过三边中点之圆圆心的?

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  • 证明：过点A作直线L⊥OA，L即为⊙O切线，切点为A。 即∠3=∠1，（弦切角定理） 同理过点E作直线L′⊥OE，得∠4=∠2， 连接DE、EF、FD， ∵D、E、F是三边中点，据中位线定理，得DECF为平行四边形， 得∠1=∠2。得∠4=∠5。则得∠3=∠5， 则L//L′（内错角相等，两直线平行） 则得：AO//O′E(分别垂直两平行线的两直线也平行) （证毕）
    2008-08-21 09:19:00
  • 已知 在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA中点，O为△ABC外接圆的圆心，O'为过D、E、F之圆的圆心。 求证：AO//O'E。 证明 设H是△ABC的垂心，K是AO的中点，连AH，KO'，OE。 因为O'是△ABC的九点圆圆心，且O'在欧拉线上，O'是OH的中点。 [三角形中三边的三个中点，三个高的垂足，垂心到各顶点线段的中点，凡九点共圆，九点圆心在欧拉线上且平分欧拉线上，九点圆直径等于该三角形外接圆半径。] 所以KO'∥AH，且2KO'=AH。 又2OD=AH,OE⊥BC,AH⊥BC， 因此OE∥KO',OD=KO'.故四边形KO'EO是平行四边形。 从而AO//O'E。证毕。 此证法用到的知道点较多，不一定适合提问者。仅供参考。
    2008-08-21 13:08:56
  • 证明： ∵D、E、F分别为△ABC三边的中点 ∴EF=（1/2）AB，DF=（1/2）BC，DE=（1/2）AC且DE∥AC ∴△ABC∽△EFD（相似比为2） ∴两三角形之外接圆也相似，相似比为2 ∴两外接圆半径之比为2 即OA=OC=2O’D=2O’E 又DE=（1/2）AC，即AC=2DE ∴△OAC∽△OED（两等边三角形相似，相似比为2） ∴∠O’ED=∠OAC 延长CA、E O’于点G ∵DE∥AC ∴∠CGE=∠O’ED（交错角相等） ∵∠O’ED=∠OAC ∴∠CGE=∠OAC ∴AO∥GE（同位角相等，两直线平行） 即AO∥O’E
    2008-08-20 16:18:39
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