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帮忙求定积分~利用arctanx的导数算最右边的式子，但是具体的

2011-11-09 15:14:12B***
利用arctanx的导数算最右边的式子，但是具体的还是没搞懂，要凑1/x^2+1，感觉题目凑得怪怪的。。帮忙求定积分~利用arctanx的导数算最右边的式子，但是具体的还是没搞懂，要凑1/x^2+1，感觉题目凑得怪怪的。。：详细解答见附图，如不清晰请点击?

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  • 详细解答见附图，如不清晰请点击
    2011-11-09 17:11:02
  • 使用换元积分即可
    2011-11-09 17:45:04
  • 个人认为这是基本题，不要背公式，也不要搞什么小技巧。 遇到 ∫[1/(u^2+a^2)]du 就老老实实规规矩矩用笨办法（实际上不是笨办法，而是基本方法）换元：令u=atant。 对于本题具体地说，就是令 x+1/2=(√3/2)tant。 【】【】【】【】【】【】【】【】【】 关键是将 x^2+px+q 配方只能凑成 (x+p/2)^2+q-(p^2)/4， x^2+x+1 配方，也只能是 (x+1/2)^2+3/4，这是最一般的形式。
    2011-11-09 17:10:12
  • 它的确是要“凑”形如∫dx/[ax^2+b]（a、b同号）的积分！！！——当然，这也是类似积分的一个“小技巧”。。。 ∫dx/(ax^2+b) =(1/b)*∫dx/[(a/b)x^2+1] =(1/b)*∫dx/{[√(a/b)x]^2+1} =(1/b)*√(b/a)*∫d[√(a/b)x]/{[√(a/b)x]^2+1} =√(1/ab)*arctan[√(a/b)x]+C.
    2011-11-09 16:34:16
  • 这个替补蛮简单吗？
    2011-11-09 16:28:42
  • ∫dt/(t^2+a^2)=(1/a)arctan(t/a)+C, 上题中，a=√3/2，t=x+1/2,套一下公式。
    2011-11-09 15:51:47
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