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已知z是复数i为虚数单位，z+i、z-3i是实系数一元二次方程x?

2007-03-26 18:20:35e***
已知z是复数i为虚数单位，z+i、z-3i是实系数一元二次方程x^2+tx+4=0(t属于R)的虚根1）求t的值2）设w=z+（cosθ+isinθ）求|w|的取值范围 求详解！已知z是复数i为虚数单位，z+i、z-3i是实系数一元二次方程x^2+tx+4=0(t属于R)的虚根1）求t的值2）设w=z+（cosθ+isinθ）求|w|的?

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  • 1、 设z＝a+bi，则方程的两个虚根是z+i＝a+(b+1)i，z－3i＝a+(b－3)i。 由 －t＝z+i+z－3i＝2a+(2b－2)i 得a＝－t/2，b＝1。所以z＝－t/2+i 由 4＝(z+i)(z－3i)＝(－t/2+2i)(－t/2－2i)＝t^2/4+4 得t＝0 2、w＝i+(cosθ+isinθ)＝cosθ+i(1+sinθ)。 |w|^2＝2+2sinθ介于0与4之间，所以|w|的取值范围是[0，2]。
    2007-03-26 23:15:59
  • 解：（分析实系数一元二次方程有复数根，则此两根必共轭） 因为z+i、z-3i是原方程的根 所以（z+i）+（z-3i）＝2z-2i是一个实数，设此实数为2a， 则z＝a+i，将z+i＝a+2i代入原方程得 （a+2i）^2+（a+2i）t+4=0 化得(a^2+ta)+(4a+2t)i=0 得 a^2+ta=0 { 4a+2t=0 解得a＝0 t＝0 则z＝i (2) 由（1）得w=i+（cosθ+isinθ）＝cosθ+(1+sinθ)i 则|w|＝|cosθ+(1+sinθ)i|=[(cosθ)^2+(1+sinθ)^2]^0.5(开平方) =(2+2sinθ)^0.5 |sinθ|=<1,0=<2+2sinθ=<4,所以 0=<|w|=<2
    2007-03-26 23:41:59
  • 1) 实系数一元n次方程虚根成对且共轭，设z=a+bi(a,b∈R),则x1=z+i=a+(b+1)i, x2=z-3i=a+(b-3)i,它们共轭, ∴ b+1=3-b, ∴ b=1, x1+x2=(a+i)+(a-i)=2a,由韦达定理,得t=-2a, x1x2=(a+i)(a-i)=a^2+1=4,∴ a=±√3, ∴ t=±2√3 2) z=±√3+i, |z|=|=±√3+i|=2, |z1|=|cosθ+isinθ|=1, ∴ |w|=|z+z1|, ∵ 1=||z|-|z1||≤|z+z1|≤|z|+|z1|=3,即1≤|w|≤3. ∴ |w|的取值范围是[1,3]
    2007-03-26 23:24:58
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