哪个机关有处理家庭暴力的义务与职责

公安机关。
家庭暴力受害人及其法定代理人、近亲属可以向公安机关报案或者依法向人民法院起诉。
公安机关接到家庭暴力报案后应当及时出警，制止家庭暴力，按照有关规定调查取证，协助受害人就医、鉴定伤情。
无民事行为能力人、限制民事行为能力人因家庭暴力身体受到严重伤害、面临人身安全威胁或者处于无人照料等危险状态的，公安机关应当通知并协助民政部门将其安置到临时庇护场所、救助管理机构或者福利机构。
《中华人民共和国反家庭暴力法》第十三条
《中华人民共和国反家庭暴力法》第十五条