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一题在数学上，把部分与整体以某种形式相似的图形，称为分形如图是

2009-05-21 20:48:55哈***
在数学上，把部分与整体以某种形式相似的图形，称为分形。如图是形如雪花的分形图案，是瑞典数学家科赫将雪花理想化后得到的科赫雪花曲线，它的作法是在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形，这叫做一次生长；把六角形每边的中央分别向外作等边三角形，边长是六角形边长的三分之一，这叫作二次生长.依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线. 设原等边三角形的边长为1，请你探索： （1）填写下表 （2）设第n次生长后的周长记为Cn，若Cn>100,请用计算器探索n的最小值. （3）设第n次生长后的面积记为Sn，当n足够大时，Sn的值能超过原等边三角形面积的2倍吗？请你计算S1，S2的值，并直接作出判断. 图见 _11 .ppt#278,11,幻灯片 11一题在数学上，把部分与整体以某种形式相似的图形，称为分形。如图是形如雪花的分形图案，是瑞典数学家科赫将雪花理想化后得到的科赫雪花曲线，它的作法是在等边三角形每条?

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  •   在数学上，把部分与整体以某种形式相似的图形，称为分形。如图是形如雪花的分形图案，是瑞典数学家科赫将雪花理想化后得到的科赫雪花曲线，它的作法是在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形，这叫做一次生长；把六角形每边的中央分别向外作等边三角形，边长是六角形边长的三分之一，这叫作二次生长。
      依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线。 设原等边三角形的边长为1，请你探索： （1）填写下表 如下图 （2）设第n次生长后的周长记为Cn，若Cn>100,请用计算器探索n的最小值。 由图中可以得到，当n次生长后，其周长为： Cn=(1/3^n)*(3*4^n)=4*(4/3)^(n-1) 则，当Cn＞100，即：4*(4/3)^(n-1)＞100时（n为自然数） 就有：n-1＞11 即，n＞12 则，n=13 （3）设第n次生长后的面积记为Sn，当n足够大时，Sn的值能超过原等边三角形面积的2倍吗？请你计算S1，S2的值，并直接作出判断。
       设原来等边三角形的面积为S 第一次生长后，得到的图形的面积S1=S+(S/9)*3=S+(S/3)=4S/3＜2S 第二次生长后，得到的图形的面积S3=S2+(S/81)*12=(4S/3)+(4S/27)=40S/27＜2S …… 所以，Sn不可能大于2S。
      
    2009-05-22 05:21:27
  • 原等边三角形面积为1*1*√ 3/2=√ 3/2， 第一次生长后增加三个边长为1/3的三个等边三角形，总面积为 √ 3/2+3*（1/9）^2*√ 3/2 =√ 3/2+1/27(√ 3/2)=28/27(√ 3/2), 第二次生长后增加12个边长为1/27的等边三角形， 总面积为28/27(√ 3/2)+12*（1/27）^2*(√ 3/2) =28/27(√ 3/2)+(4/243)√ 3/2=(256/243)√ 3/2, 第三次生长后增加个36个边长为1/81的等边三角形，——可能有误
    2009-05-22 05:47:15
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