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数学问题过点P(1数学问题:过点P(1,4)作一条直线,使其在两

2009-11-13 18:05:46l***
数学问题:过点P(1,4)作一条直线,使其在两坐标轴上的截距都为正 1,过点P(1,4)作一条直线,使其在两坐标轴上的截距都为正,当截距之和最小时,求这条直线方程 答案:2x+y-6=0 最好解析一下 数学问题过点P(1数学问题:过点P(1,4)作一条直线,使其在两坐标轴上的截距都为正1,过点P(1,4)作一条直线,使其在两坐标轴上的截距都为正,当截距之和最小?

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  • 目标函数为 u=OA+OB=(OM+MA)+(ON+NB)=(1+4cotθ)+(4+tanθ)=5+4cotθ+tanθ。 因为(cotθ)*(tanθ)=1，所以由均值定理可知当tanθ=2时，u有最小值。 得到直线斜率为 k=-tanθ=-2，故所求直线方程是 2x+y-6=0。
    2009-11-14 09:15:10
  • 设直线为x/a+y/b=1, 它过(1,4),即有1/a+4/b=1. 故由柯西不等式得 a+b=1*(a+b) =(a+b)(1/a+4/b)>=(1+2)^2, 故(a+b)|min=9. 此时有且只有 {a+b=9, (1) {a:1/a=b:4/b, (2) 解得a=3,b=6。 因此,所求方程为x/3+y/6=1, 两边剩6移项得所求直线为2x+3y-6=0。
    2009-11-13 19:59:26
  • 设x轴上的截距为a,y轴上的截距为b(a>0,b>0) 该直线方程是x/a+y/b=1 又直线过点(1,4) 所以1/a+4/b=1 所以a+b=a×1+b×1 =a(1/a+4/b)+b(1/a+4/b) =5+4a/b+b/a ≥5+2√[(4a/b)(b/a)] =9 当且仅当4a/b=b/a,即2a=b取等号 又1/a+4/b=1 所以a=3,b=6 所以直线方程是x/3+y/6=1,即2x+y-6=0
    2009-11-13 19:00:46
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