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求三元函数的最值已知x、y、z∈0，+∞)且x+y+z＝1，求

2013-04-11 12:20:01s***
已知x、y、z∈[0，+∞)且x+y+z＝1，求f(x,y,z)＝x3+2y2+(10/3)z的最值。求三元函数的最值已知x、y、z∈[0，+∞)且x+y+z＝1，求f(x,y,z)＝x3+2y2+(10/3)z的最值。：构建拉格朗日函数 F=x^3+2y^2+?

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  • 构建拉格朗日函数 F=x^3+2y^2+(10/3)z+λ(x+y+z-1) 对x,y,z,λ求偏导数并令为0，得 3x^2+λ=0 ① 4y+λ=0 ② 10/3+λ=0 ③ x+y+z=1 ④ 由③，λ=-10/3, 代入①，②得正根x=√10/3, y=5/6, 代入④ 得z=1-x-y=1/6-√10/3=10/3; 在边界点 z=0, y=0, x=1 时，函数取最小值 F=1。
    2013-04-11 16:24:34
  • x=1-y-z, g(y,z)=(1-y-z)^3+2y^+10z/3,y,z>=0,y+z<=1, 下面求驻点坐标： g'y=-3(1-y-z)^+4y=0, g'z=-3(1-y-z)^+10/3=0, 解得y=5/6,z=1/6-√10/3（舍）， g(y,1-y)=2y^+10(1-y)/3 =2y^-10y/3+10/3 =2(y-5/6)^+35/18, g(0,1)=10/3,g(1,0)=2,g(0,0)=1, ∴所求最小值=1，最大值=10/3.
    2013-04-11 15:23:48
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