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高二数学1已知x、y∈R且y=x^2求证：log2底数2-(2

2005-08-19 20:54:05萧***
已知x、y∈R且y=x^2求证：log2[底数2](2^x+2^y)＞8/7高二数学1已知x、y∈R且y=x^2求证：log2[底数2](2^x+2^y)＞8/7：只能证明log2(2^x+2^y)≥7/8, 因为2^x+2^y≥2√?

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  • 只能证明log2(2^x+2^y)≥7/8, 因为2^x+2^y≥2√[(2^x)×(2^y)]=2√[2^(x+x^2)],而x+x^2最小值为-1/4， 所以2^x+2^y最小值为2√[2^(-1/4)]=2^(1-1/8)=2^7/8, 所以log2(2^x+2^y)最小值为log2(2^7/8)=7/8,即log2(2^x+2^y)≥7/8
    2005-08-19 21:11:14
  • ∵y=x^2 ∴2^x+2^y=2^x+2^(x^2)=2^x+2^(2x)=2^x (1+2^x) 令2^x=m(m＞0) ∴2^x+2^y=(2^x)(1+2^x)=m(1+m)=m^2+m=m^2+(m/2)+(m/2)≥3[m^2* (m/2)*(m/2)]^(1/3)=3*(1/4)^(1/3)=(27/4)^(1/3) ∴log2[底数2](2^x+2^y)=lg(2^x+2^y)/lg2=lg[(27/4)^(1/3)]/lg2= (1/3)(lg27-lg4)/lg2=(1/3)(3lg3-2lg2)/lg2= 以lg2=0.3010,lg3=0.4771代入，上式=0.9184 0.9184＜8/7啊
    2005-08-19 20:55:46
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