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数学归纳法的题目用数学归纳法证明凸n边形的对角线的条数f(n)=

2006-08-13 17:44:26天***
用数学归纳法证明凸n边形的对角线的条数 f(n)=(1/2)n(n-3) (n≥4).数学归纳法的题目用数学归纳法证明凸n边形的对角线的条数f(n)=(1/2)n(n-3)(n≥4).：用数学归纳法证明凸n边形的对角线的条数 f(n)=(1/2?

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  •   用数学归纳法证明凸n边形的对角线的条数 f(n)=(1/2)n(n-3) (n≥4)。 证:1。当n=4,四边形有2条对角线, f(4)=(1/2)*4*(4-3)=2,结论成立> 2。假设n=k(k≥4)时结论成立,即 凸k边形A1A2A3。
      。。。。。Ak的对角线的条数为 f(k)=(1/2)k(k-3) (n≥4)。 那么,当n=k+1时,k+1边形A1A2A3。。。。。A(k+1)中,连A1Ak, k边形A1A2A3。。。。。
      Ak有(1/2)k(k-3)条对角线,都是原k+1边形的对角线,另外:A1k是原k+1边形的一条对角线,还有从顶点A(k+1)出发,与不相邻(A1,Ak)的其他(k+1)-3=k-2个顶点连线,共k-2条 故共有(1/2)k(k-3)+1+(k-2)=(1/2)k(k-3)+k-1 =(1/2)(k+1)[(k+1)-3], 结论成立 由1,2可知,结论对n≥4的一切自然数成立 。
    2006-08-13 18:08:36
  • i)n=4时,f(4)=(1/2)4(4-3)=2,命题成立 ii)假设n=k时,凸k边形A1A2…Ak有f(k)=(1/2)k(k-3)条对角线, 当n=k+1时,顶点Ak可连k条线,有k-2条对角线,此时边A1Ak也变成对角线,共增加k-1条对角线,∴f(k+1)=f(k)+(k-1)=(1/2)k(k-3)+k-1 =(1/2)(k+1)[(k+1)-3] ∴n=k+1时,命题成立 ∴对一切n≥4的自然数n,命题成立。
    2006-08-13 18:25:55
  • 第一步:检验 当n=4时,f(n)=2,与实际问题吻合,成立. 第二步:假设并证明 假设当n=k时,命题成立, 即凸k边形对角线条数f(k)=(1/2)k(k-3) 当n=k+1时, 即研究k+1边形对角线条数. k+1边形比k边形多1个顶点, 这个顶点与原有的k个顶点连线,增加了k条, 这k条连线中,有2条是边,原来k边形中的一条边成了对角线, 即对角线增加了k-2+1=k-1条 (1/2)k(k-3)+(k-1)=(1/2)(k^2-3k+2k-2) =(1/2)(k^2-k-2)=(1/2)(k+1)(k-2)=(1/2)(k+1)[(k+1)-3] =f(k+1) 当n=k+1时,成立. 综合第一和第二两步, 凸n边形的对角线的条数 f(n)=(1/2)n(n-3) (n≥4)正确. 证明完毕.
    2006-08-13 18:05:46
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