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一个选择题设A是m*n矩阵（m>n或m=n)，则齐次线性方

2006-12-14 10:46:231***
设A是m*n矩阵（m>n或m=n)，则齐次线性方程组AX=0存在基础解系的充分必要条件是 A A的列向量组线性无关 B r(A)=r<n C |ATA|≠0 D 对n阶可逆矩阵B 有r(AB)=n E 以上均不正确 我觉得A B都对啊 另外请给解释CD 谢谢！一个选择题设A是m*n矩阵（mn或m=n)，则齐次线性方程组AX=0存在基础解系的充分必要条件是AA的列向量组线性无关Br(A)=rnC|ATA?

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  • 设A是m*n矩阵（m>n或m=n)，则齐次线性方程组AX=0存在基础解系的充分必要条件是 A A的列向量组线性无关 不充分。如果A的列向量组线性无关，则A的秩=n,齐次线性方程组AX=0只有唯一零解，不存在基础解系。 B r(A)=r2006-12-14 11:10:43
  •   齐次线性方程组AX=0存在基础解系，即方程组有非零解。 A、 A的列向量组线性无关 A的秩等于其列向量组的秩，所以A的秩是n，方程组Ax＝0只有零解。 （此时的矩阵A也称为列满秩矩阵。如果矩阵的秩等于其行数，称矩阵是行满秩矩阵。矩阵既行满秩，又列满秩，矩阵就是满秩矩阵，即矩阵可逆） B、 r(A)=r   C、|A^TA|≠0 说明A^TA是n阶可逆矩阵，可以证明A的秩就是n：首先r(A)≤n（列数），其次r(A^TA)＝n，而r(A^TA)≤r(A)，所以r(A)≥n，因此r(A)＝n，方程组Ax＝0只有零解。 第二种方法：假设方程组Ax＝0有非零解，则在方程组左边乘以A^T，得到方程组A^TAx＝0也有非零解，而由|A^TA|≠0得到方程组A^TAx＝0只有零解，矛盾。
       D、对n阶可逆矩阵B 有r(AB)=n。 任意一个矩阵乘上一个可逆矩阵是不改变它的秩的，所以r(A)＝n，方程组Ax＝0只有零解。
    2006-12-14 12:51:44
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