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如何用一把没有刻度的直尺和一把圆规画出一个正十七边形？

2018-11-26 01:39:44午***
如何用一把没有刻度的直尺和一把圆规画出一个正十七边形？：最早的十七边形画法创造人为高斯。这其中还有一段趣闻:1796年的一天，德国哥廷根大学?

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  •   最早的十七边形画法创造人为高斯。
    这其中还有一段趣闻:
    1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个小时内就顺利完成了。
      第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
    他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
      困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”
    导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。
      他用颤抖的声音对青年说：这是你自己做出来的吗？青年有些疑惑地看着导师，回答道：是我做的。但是，我花了整整一个通宵。导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。青年很快做出了一个正17边形。导师激动地对他说：你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。
      你是一个真正的天才！
    原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来”。
      这位青年就是数学王子高斯。
    高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
      
    1801年，高斯证明：如果k是费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。
      

    先计算或作出cos(360°/17)
    设正17边形中心角为a，则17a=360°,即16a=360°-a
    故sin16a=-sina，而
    sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a
    因sina不等于0，两边除之有：
    16cosacos2acos4acos8a=-1
    又由2cosacos2a=cosa cos3a(三角函数积化和差公式)等
    注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(诱导公式)等，有
    2(cosa cos2a … cos8a)=-1
    令
    x=cosa cos2a cos4a cos8a
    y=cos3a cos5a cos6a cos7a
    有：
    x y=-1/2
    又xy=(cosa cos2a cos4a cos8a)(cos3a cos5a cos6a cos7a)
    =1/2(cos2a cos4a cos4a cos6a … cos14a cos15a)
    经计算知xy=-1
    因而：x=(-1 √17)/4,y=(-1-√17)/4
    其次再设：x1=cosa cos4a,x2=cos2a cos8a
    y1=cos3a cos5a,y2=cos6a cos7a
    故有x1 x2=(-1 √17)/4
    y1 y2=(-1-√17)/4
    最后，由cosa cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
    可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
    你可以在网上查到。
    2018-11-26 01:40:16
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