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数列求证设数列有A1=2数列求证:设数列有A1=2,A(n+1)

2010-02-28 19:01:27c***
数列求证:设数列有A1=2,A(n+1)=An+1/An 求证:An>√2n+1对一切正整数n成立设数列有A1=2,A(n+1)=An+1/An 求证:An>√2n+1对一切正整数n成立 要快.谢谢了数列求证设数列有A1=2数列求证:设数列有A1=2,A(n+1)=An+1/An求证:An√2n+1对一切正整数n成立设数列有A1=2,A(n+1)=A?

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  • 证明：(开方即 1/2 次方,用^表示) n=1时，A_1 = 4^(1/2) = 2 > (2*1 + 1)^(1/2) = 3^(1/2); 假设n=k时，A_k > (2k + 1)^(1/2); 则n=(k+1)时，A_(k+1) = A_k + 1/A_k; 欲证结果，只需证（A_k + 1/A_k）^2 > (2k + 3);而 （A_k + 1/A_k）^2 = (A_k)^2 + 2 + 1/[(A_k)^2] > 2k + 1 + 2 + 1/[(A_k)^2] = (2k + 3) + 1/[(A_k)^2]; 易知A_k > 0且单调递增。因而1/[(A_k)^2] > 0; 所以，（A_k + 1/A_k） > (2k + 3)^(1/2)
    2010-02-28 21:16:48
  • 简单证法如下 A(n+1)^2=[An+1/An]^2 =An^2+2+1/An^2 ＞An^2+2 而A1^2=4＞3 所以 An^2＞3+2(n-1)=2n+1 即 An＞√(2n+1)
    2010-03-01 10:08:06
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