求幂级数的和函数求下面幂级数的和函数:∑(n=0->∞)
2018-04-12 03:52:04黄***
求下面幂级数的和函数:
∑(n=0->∞) [(2n)!]* [x^(2n)]/[(n!)^2]
其中收敛半径R=1/2求幂级数的和函数求下面幂级数的和函数:∑(n=0-∞)[(2n)!]*[x^(2n)]/[(n!)^2]其中收敛半径R=1/2:f(x)=∑(n=0->?
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f(x)=∑(n=0->∞) [(2n)!]* [x^(2n)]/[(n!)^2]
==》
f(x)=1+∑(n=1->∞) [(2n)!]* [x^(2n)]/[(n!)^2]
=1+
4x^2∑(n=1->∞) [(2n-2)!][x^(2(n-1))]/(n-1)!^2-
-2∑(n=1->∞) [(2n-2)!/(n-1)!^2]x^(2n)/n=
=1+4x^2f(x)-2∑(n=1->∞) [(2n-2)!/(n-1)!^2]x^(2n)/n
两边求导==》
f’(x)=8xf(x)+4x^2f’(x)-
-4∑(n=1->∞) [(2n-2)!/(n-1)!^2]x^(2n-1)=
=8xf(x)+4x^2f’(x)-4xf(x)
==》df/f=4xdx/[1-4x^2]
==》f(x)=c/√[1-4x^2]
f(0)=1==》c=1
==》f(x)=1/√[1-4x^2]
。
2018-04-12 07:19:51
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