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关于光滑微分流形中闭集的问题，请看下面的图片

2010-05-17 18:11:47h***
关于光滑微分流形中闭集的问题，请看下面的图片关于光滑微分流形中闭集的问题，请看下面的图片：我使用下面的命题。 命题1。 （V,φ)光滑微分流形M中的任意“atlas”, A,B为V中的紧集，且AB=?

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  •   我使用下面的命题。 命题1。 （V,φ)光滑微分流形M中的任意“atlas”, A,B为V中的紧集，且AB=Φ， 则有光滑函数h:M→[0,1]使： （1）h(q)=1,任意q∈A, h(q)=0,任意q∈B, (2)Supp(h)={q∈M,h(q)≠0}是V子集。
       命题2。（单位分解定理） {V(i),i∈N}光滑微分流形M的开覆盖，且 V(i)是M的“atlas”， V(i)的闭包为紧集。 则有a∈Γ,g(a):M→[0,1]使, (1) 任意a∈Γ，Supp(g(a))是紧集， 有V(i)使,Supp(g(a))是V(i)的子集。
       （2） 任意q∈M,有q的邻域U,只有有限个a∈Γ， 是Supp(g(a))和U相交。 （3） ∑{a∈Γ}g(a)=1。 命题3。（拓扑的命题） M是"normal"拓扑空间， {V(i),i∈N}M的开覆盖，V(i)的闭包为紧集。
       则任意闭集A，有A=∪{i∈N}A(i), 其中A(i)是V(i)的子集，A(i)为紧集。 上面命题的证明我不写，都不难，但有点长。 证明你的命题。 （1） 取一个M的开覆盖{V(i),i∈N}， 且V(i)是M的“atlas”， V(i)的闭包为紧集。
       则A=∪{i∈N}A(i),B=∪{i∈N}B(i), 其中A(i),B(i)是V(i)的子集，A(i),B(i)为紧集。 (2) 则有光滑函数h(i):M→[0,1]使： （1）h(i)(q)=1,任意q∈A(i), h(q)=0,任意q∈B(i), (2)Supp(h(i))是V(i)子集。
       (3) {g(a):a∈Γ}为命题2的分解函数。 现定义光滑函数f。 任意q∈M,则q∈V(i)-∪{j   由于h(i)g(a)光滑，而∑{Supp(g(a))和U相交}只有有限项， 所以f光滑，且 f(q)=1,任意q∈A, f(q)=0,任意q∈B。 命题得证。 。
    2010-05-24 14:37:39
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