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求值域1)y=2x+1+(2x-x^2)^(1/2);2)y=2?

2011-04-20 12:52:199***
求值域1)y=2x+1+(2x-x^2)^(1/2);2)y=2x+1+(x^2-2x)^(1/2)：(1) y=2x+1+(2x-x^2)^(1/2) =?

最佳回答

  •   (1) y=2x+1+(2x-x^2)^(1/2) =2x+1+[1-(1-x)^2]^(1/2) 令1-x=cosθ,θ∈[0,π],代入原式整理,得 y=3-2cosθ+sinθ =3+(根5)sin(θ-β)(其中β=arctan(2/根5)) 故当θ=π/2+β时,y|max=3+根5; 当θ=0时,y|min=1 所以,函数值域为[1,3+根5]。
       (2) y=2x+1+(x^2-2x)^(1/2) =2x+1+[(x-1)^2-1]^(1/2) 令x-1=secθ,θ∈[0,π/2)∪[π,3π/2) 代入原式整理,得 y=3+2secθ+tanθ →y-3=[sinθ-(-2)]/(cosθ-0) 令k=[sinθ-(-2)]/(cosθ-0) k可看作单位圆上点A与B(0,-2)连线的斜率。
       易算得,k≥2,或k≤-根3, 即k∈[2,+∞)∪(-∞,-根3] ∴y∈[5,+∞)∪(-∞,-根3]。 即所求函数值域为[5,+∞)∪(-∞,-根3]。 想了一个下午,初等方法麻烦!如果用高数则简单多了!。
    2011-04-20 19:49:32
  • (1)y=f(x)=2x+1+√(2x-x^2)，定义域[0,2] y'=2+(2-2x)/2√(2x-x^2)=0，x=1±2/√5 f(0)=1，f(1-2/√5)=3-4/√5+1/√5=3-3/√5 f(1+2/√5)=3+4/√5+1/√5=3+√5，f(2)=5 所以f(x)值域[1,3+√5] (2)y=g(x)=2x+1+√(x^2-2x)，定义域(-∞,0]∪[2,+∞) y'=2+(2x-2)/2√(x^2-2x)=0，x=1±2/√3 在(-∞,0]内，x→-∞时，g(x)→-∞； g(1-2/√3)=3-4/√3+1/√3=3-√3，g(0)=1 在[2,+∞)内，g(2)=5，g(1+2/√3)=3+4/√3+1/√3=3+5/√3； x→+∞时，g(x)→+∞； 所以g(x)值域[-∞,3-√3]∪[5,+∞).
    2011-04-20 15:00:27
  • 撤消
    2011-04-20 14:42:34
  • (1)做代换x=1+sinq,(-90<=q<=90) (2)x=1+1/cosq
    2011-04-20 14:34:45
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