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分式不等式已知a、b、c>0,且a+b+c＝1.证明：a/

2013-12-19 20:25:259***
已知a、b、c>0,且a+b+c＝1.证明： a/√(b^2+c)+b/√(c^2+a)+c/√(a^2+b)≥3/2。分式不等式已知a、b、c0,且a+b+c＝1.证明：a/√(b^2+c)+b/√(c^2+a)+c/√(a^2+b)≥3/2。：证法一： 依赫尔德不等式?

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  • 证法一： 依赫尔德不等式得 [∑a/√(b^2+c)]^2·[∑a(b^2+c)]^2≥(∑a)^3. 只要证明： ∑a(b^2+c)≤4/9·(∑a)^3 9∑a[b^2+c(a+b+c)]≤4(a+b+c)^3 (∑a^3-3abc)+3(∑a^3+∑a^2b-2∑ab^2)≥0 (∑a^3-3abc)+3∑(a-b)^2b≥0, 此式显然成立，故原不等式成立。 证法二： 构造凸函数：f(s,t,v)＝s/√(t^2+v),则 a/√(b^2+c)+b/√(c^2+a)+c/√(a^2+b) ＝f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b) ≥3f[(a+b+c)/3,(b+c+a)/3,(c+a+b)/3] ＝3f(1/3,1/3,1/3) ＝3×(1/3)/√[(1/3)^2+1/3] ＝3/2, 故原不等式得证。
    2013-12-20 12:11:33
  • ∑a√(b^2+c)=∑√(a^2b^2+c^2a^2+ca^3+a^2bc) ≤√[3∑(a^2b^2+c^2a^2+ca^3+a^2bc)] =√[6∑b^2c^2+3(c^3a+b^3c+a^3b)+3abc∑a] ≤√(2/9+1/9+1/9)=2/3 而[∑a/√(b^2+c)][∑a√(b^2+c)]≥(a+b+c)^2=1 所以∑a/√(b^2+c)≥3/2 （前面用了基本不等式及a^2b^b^2c^2+c^2a^2≤1/27,a^3b+b^3c+c^3a≤1/27,abc≤1/27）
    2013-12-20 08:34:37
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