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求解：在区间0，1-上函数f(x)=nx*（1-x）^n的最大?

2006-02-06 13:44:10清***
求解：在区间[0，1]上函数f(x) = nx*（1-x）^n的最大值记为M(n) 。则M(n)在n趋于无穷的时候极限为多少？主要是如何找到M（n）的最大值求解：在区间[0，1]上函数f(x)=nx*（1-x）^n的最大值记为M(n)。则M(n)在n趋于无穷的时候极限为多少？主要是如何找到M（n）的最大值：f'(x?

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  • f'(x)=n(1-x)^n-xn^2(1-x)^(n-1)=[n(1-x)^(n-1)]×[1-(n+1)x] 所以f(x)的驻点有两个,分别是x=1和x=1/(n+1)，且x=1/(n+1)是极大值点 又因为是闭区间[0,1],所以x=1/(n+1)也是最大值点 所以M(n)=f[1/(n+1)]=[n/(n+1)]^(n+1) 所以当n→∞时:limM(n)=lim[n/(n+1)]^(n+1) =lim[1-1/(n+1)]^{-[-(n+1)]}=e^(-1)=1/e 所以极限为1/e
    2006-02-06 14:08:02
  • fn(x) = nx*（1-x）^n fn'(x) = n（1-x）^(n-1)[1-(n+1)x]=0==> x=1/(n+1),fn(0)=fn(1)=0==> M(n)=fn(1/(n+1))=[n/（1+n)]^(n+1)-->1/e,在n趋于无穷的时候.
    2006-02-06 14:00:21
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