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解析几何综合难题已知直线L:x-2y+12=0和抛物线x^2=4

2006-12-24 11:35:39清***
已知直线L:x-2y+12=0和抛物线x^2=4y分别交于左右A,B两点,过A,B两点的圆M与抛物线在A处有公共的切线. (1)求圆M的方程. (2)若圆M与直线y=mx交于P,Q两点,O为原点,求 OP向量·OQ向量的值.解析几何综合难题已知直线L:x-2y+12=0和抛物线x^2=4y分别交于左右A,B两点,过A,B两点的圆M与抛物线在A处有公共的切线.(1)求圆M的方程.(2?

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  • (1) 联立x-2y+12=0和x^2=4y得A(-4,4),B(6,9),设⊙M与抛物线在A点的公切线方程为y=k(x+4)+4,把它代入x^2=4y得x^-4kx-16(k+1)=0,由△=0得k=-2,∴切线T的方程为2x+y+4=0,设⊙M的圆心M(a,b),半径R,∵M到直线T的距离=R,∴|2a+b+4|=√5R…①,∵点A,B在⊙M上,∴ (a+4)^+(b-4)^=R^…②,(a-6)^+(b-9)^=R^…③,由①,②,③解得(a-1)^=0,∴a=1,从而b=13/2,R^=125/4,∴⊙M的方程为(x-1)^+(y-13/2)^=125/4…④. (2) 把y=mx代入④,得(1+m^)x^-(2+13m)x+11=0,则 x1x2=11/(1+m^),y1y2=m^(x1x2)=11m^/(1+m^), ∴ OP向量·OQ向量=x1x2+y1y2=11
    2006-12-24 23:09:17
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