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设双曲线X2/4-Y2=1的右顶点是A,P是双曲线上异于顶点的一?

2007-03-28 16:53:27x***
设双曲线X2/4-Y2=1的右顶点是A,P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐进线平行线与直线OP分别交于Q.R两点。 1.求证：无论点在什么位置，总有|OP|2=|OQ*OR| 2.设动点C适合AC=1/2(AQ+AR)，求C点轨迹方程 （题中均为向量）设双曲线X2/4-Y2=1的右顶点是A,P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐进线平行线与直线OP分别交于Q.R两点。1.求证：无论点在什么位置，?

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  •   解：X＾/4-Y＾=1 X＾-4Y＾=4 a=2 b=1 c=√5 渐进线： L： y=（1/a）x=x/2 2y=x L1： y=-（1/a）x=-x/2 2y=-x P（xp，yp） A（2，0） A引双曲线的渐进线L平行线L2： 2y=x-2 A引双曲线的渐进线L1平行线L3： 2y=2-x OP所在直线的方程L4： xpy=ypx 联立： 2y=x-2 xpy=ypx 得出R的坐标： xr=2xp/（xp-2yp） yr=2yp/（xp-2yp） 联立： 2y=2-x xpy=ypx 得出Q的坐标： xq=2xp/（xp+2yp） yr=2yp/（xp+2yp） 向量OR=[2xp/（xp-2yp），2yp/（xp-2yp）] 向量OQ=[2xp/（xp+2yp），2yp/（xp+2yp）] |OQ*OR|={4xp＾/（xp＾-4yp＾）+4yp＾/（xp＾-4yp＾）} P在x＾-4y＾=4上， xp＾-4yp＾=4 ∴|OQ*OR|={xp＾+yp＾} │OP│＾=xp＾+yp＾ 2： C（x，y） 向量AR={xr-2，yr}={4yp/（xp-2yp）， 2yp/（xp-2yp）} 向量OR={xq-2，yq}={-4yp/（xp+2yp），2yp/（xp+2yp）} AQ+AR=（4yp＾，xpyp） 向量AC=（x-2，y） x-2=4yp＾ y=xpyp xp=y/yp xp＾=（y/yp）＾=4y＾/（x-2） 将xp＾， yp＾带入 X＾-4Y＾=4 4y＾/（x-2）-（x-2）=4 4y＾-（x-2）＾=4（x-2） x＾-4y＾=4 ∴C点轨迹方程： x＾-4y＾=4 。
      
    2007-03-29 17:58:06
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