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已知,函数,(为自然常数).()求证:;()若且恒成立,则称函数?

2018-05-09 18:31:17离***
已知,函数,(为自然常数).
()求证:;
()若且恒成立,则称函数的图象为函数,的"边界".已知函数,试判断"函数,以函数的图象为边界"和"函数,的图象有且仅有一个公共点"这两个条件能否同时成立?若能同时成立,请求出实数,的值;若不能同时成立,请说明理由.已知,函数,(为自然常数).()求证:;()若且恒成立,则称函数的图象为函数,的...已知,函数,(为自然常数).()求证:;()若且恒成立?

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  •   把两个函数相减构造新函数,求函数的导数,使得导数大于,得到函数的函数的单调区间,求出函数的最小值,最小值等于,得到两个函数之间的大小关系。
    构造新函数,恒成立"与"函数,的图象有且仅有一个公共点"同时成立,利用导数求出新函数的单调区间和最值,求出两个函数同时成立时,的值。
      
    解:证明:记,
    则,
    令,注意到,可得,
    所以函数在上单调递减,在上单调递增。
      ,即,
    。
    由知,对恒成立,当且仅当时等号成立,
    记,则
    "恒成立"与"函数,的图象有且仅有一个公共点"同时成立,
    即对恒成立,当且仅当时等号成立,
    所以函数在时取极小值,
    注意到,
    由,解得,
    此时,
    由知,函数在上单调递减,在上单调递增,
    即,,
    综上,两个条件能同时成立,此时,。
      
    本题考查函数的导数在最值中的应用,解题的关键是构造新函数,利用函数恒成立的思想解决问题,注意本题的运算也比较多,不要在这种运算上出错。
      
    2018-05-09 20:04:52
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