数学问题平面上任意给定5点,其中任三点不共线,则在以它们为顶点的
2008-06-24 15:39:47中***
平面上任意给定5点,其中任三点不共线,则在以它们为顶点的三角形中, 至多有7个锐角三角形.
数学问题平面上任意给定5点,其中任三点不共线,则在以它们为顶点的三角形中,至多有7个锐角三角形.:先证明一个简单的引理:设P为三角形ABC内一点(不在边界上) ?
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回到原题: 5点钟任三点不共线 构成10个三角形,只需证明,其中至少3个不是锐角三角形即可,考察5点凸包。 1,若其凸包为五边形,则五边形中至少三个角大于90度(否则另两角之和大于等于450度,不可能),以这三角定点为顶点的三个三角形即为非锐角三角形,成立 2,若其凸包为四边形,知四边形中至少一角不小于90度(否则四角之和小于360度),5点为ABCDE 其凸包为四边形ABCD 下面考察点E 点E必在四边形ABCD中,又因为任三点不共线,所以E比在ABCD四点构成的四个三角形的某两个中,不妨设其在三角形ABC中,则对三角形ABC及点E用引理,可得两个钝角,即得两个钝角三角形,再加上四边形ABCD中的一个,成立。
3,若其凸包为三角形,不妨设为ABC ,D E 在三角形ABC中, 对D,E和三角形ABC 分别用引理,可得至少4个钝角三角形,成立。 综1,2,3,知。5点中任三点不共线,以这5点为顶点的三角形中至少3个非锐角,即至多7个为锐角三角形 。
2008-06-24 21:40:54
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