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数学问题已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线y=x+1交椭圆

2009-06-26 20:34:021***
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线y=x+1交椭圆于P、Q两点，|PQ|= √10/2，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆的方程。数学问题已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线y=x+1交椭圆于P、Q两点，|PQ|=√10/2，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆的方程。：设椭圆方程?

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  •   设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 焦点在x轴上,a^2>b^2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(1) 将直线方程y=x+1代入椭圆方程,得: (a^2+b^2)x^2+2a^2x+a^2-a^2b^2=0。。。。。
      。。。(2) 设直线y=x+1与椭圆两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2) 则x1,x2为方程(2)的两实数根 x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2),x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2) y1y2=x1x2+x1+x2+1=b^2-a^2b^2/(a^2+b^2) 而以PQ为直径的圆为: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 过原点(0,0),所以: x1x2+y1y2=0 (a^2+b^2-2a^2b^2)/(a^2+b^2)=0 a^2+b^2=2a^2b^2。
      。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3) 【解法一】---------------------------------------------- PQ^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 =2(x1-x2)^2=2(x1+x2)^2-8x1x2 =8a^4/(a^2+b^2)^2-8(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2) =8a^4/(a^2+b^2)^2-4(2a^2-2a^2b^2)/(a^2+b^2)。
      。[(3)代入] =8a^4/(a^2+b^2)-4(a^2-b^2)/(a^2+b^2) =4(a^4+b^4)/(a^2+b^2)^2=(√10/2)^2=5/2 (a^4+b^4)/(a^2+b^2)^2=5/8 [(a^2+b^2)-2a^2b^2]/(a^2+b^2)^2=5/8 1-2a^2b^2/(a^2+b^2)^2=5/8。
      。。[(3)代入] a^2+b^2=8/3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(4) (4)代入(3): a^2b^2=4/3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(5) 由(1)(4)(5)解得: a^2=2,b^2=2/3 椭圆方程为: x^2/2+y^2/(2/3)=1 【解法二】---------------------------------------------- 设PQ中点M(m,m+1)］则: |OM|^2=m^2+(m+1)^2=2m^2+2m+1=(√10/4)^2=5/8 m^2+m+3/16=0 m1=-1/4,m2=-3/4 x^2/a^2+y^2/b^2=1 两边求导得: 2x/a^2+2yy'/b^2=0 y'=-(b^2/a^2)(x/y) PQ斜率:k=-(b^2/a^2)[m/(m+1)]=1 b^2/a^2=-(m+1)/m=-1-1/m m=-1/4,b^2/a^2=3,与(1)矛盾 m=-3/4,b^2/a^2=1/3,a^2=3b^2。
      。。。。。。。。。。。(4) 由(3)(4)解得 a^2=2,b^2=2/3 椭圆方程为: x^2/2+y^2/(2/3)=1 【评】对椭圆方程求导得中点弦斜率可以简化计算。
    2009-06-26 22:13:19
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