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凸四边形ABCD两边ABCD的中点MN,求证三角形ANB加三角形?

2010-08-11 14:26:49圆***
凸四边形ABCD两边AB、CD的中点M、N，求证三角形ANB加三角形CMD的面积等如四边形ABCD的面积凸四边形ABCD两边ABCD的中点MN,求证三角形ANB加三角形CMD的面积等如四边形ABCD的面积凸四边形ABCD两边AB、CD的中点M、N，求证三角形ANB?

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  • 证明;连接AC和BD;M,N分别为AB,CD的中点.则: S⊿ADN=(1/2)S⊿ACD;S⊿BCN=(1/2)S⊿BDC; S⊿AMD=(1/2)S⊿BDA;S⊿BCM=(1/2)S⊿ACB. ∴S⊿ADN+S⊿BCN+S⊿AMD+S⊿BCM=(1/2)(S⊿ACD+S⊿BDC+S⊿BDA+S⊿ACB); (S⊿ADN+S⊿BCN)+(S⊿AMD+S⊿BCM)=(1/2)*(2S四边形ABCD); (S四边形ABCD-S⊿ANB)+(S四边形ABCD-S⊿CMD)=S四边形ABCD; 整理得:S⊿ANB+S⊿CMD=S四边形ABCD.
    2010-08-15 10:11:07
  • 设C,N,D到AB的距离为h1,h2,h3, ∵N是CD的中点， ∴h1+h3=2h2(梯形中位线定理）。 又AM=MB, ∴S△ADM+S△BCN=1/2*AM*（h1+h3)=AM*h2=S△ANB, ∴S△ANB+S△CMD=S△ADM+S△BCN+S△CMD=四边形ABCD的面积.
    2010-08-11 20:45:20
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