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从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点向它的动切线引垂?

2011-04-10 16:35:159***
从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点向它的动切线引垂线,求垂足的轨迹方程.：设切点为Q(acosθ,bsinθ), 则椭圆切线QP为 (acos?

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  • 设切点为Q(acosθ,bsinθ), 则椭圆切线QP为 (acosθ)x/a^2+(bsinθ)y/b^2=1 → (bcosθ)x+(asinθ)y=ab …… (1) 过右焦点F2(c,0)垂直于切线PQ的直线F2P为 (asinθ)x-(bcosθ)y=acsinθ …… (2) 显然,垂足P满足(1)、(2). 由(1)^2+(2)^2,得 (x^2+y^2)[(asinθ)^2+(bcosθ)^2] =a^2[b^2+(csinθ)^2] =a^2[b^2+(a^2-b^2)(sinθ)^2] =a^[(bcosθ)^2+(asinθ)^2] 注意到(bcosθ)^2+(asinθ)^2不为0, ∴x^2+y^2=a^2 即垂足P的轨迹方程: x^2+y^2=a^2. 用定义法好像比这解法更简洁些.
    2011-04-10 16:56:47
  • 设A(x0,y0)是椭圆上的点：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1.① 过A的切线是 x0x/a^2+y0y/b^2=1,② 过右焦点F(c,0)垂直于切线的直线是 y0(x-c)/b^2-x0y/a^2=0.③ 由②、③解得 x0=a^2(x-c)/(x^2+y^2-cx), y0=b^2y/(x^2+y^2-cx), 代入①*（x^2+y^2-cx)^2，得 a^2(x-c)^2+b^2y^2=(x^2+y^2-cx)^2, 为垂足的轨迹方程，其中c=√(a^2-b^2).
    2011-04-11 10:14:44
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