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求取值的范围已知实数x,y满足方程x^2+y^2-4x+1=0,

2005-11-21 22:15:27月***
已知实数x,y满足方程x^2+y^2-4x+1=0,(1)求y/x的最大值和最小值；（２）求y-x的最小值；（３）求x^2+y^2的最大值和最小值． 求取值的范围已知实数x,y满足方程x^2+y^2-4x+1=0,(1)求y/x的最大值和最小值；（２）求y-x的最小值；（３）求x^2+y^2的最大值和最小值．?

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  •   已知实数x,y满足方程x^2+y^2-4x+1=0,(1)求y/x的最大值和最小值；（２）求y-x的最小值；（３）求x^2+y^2的最大值和最小值． 圆的方程为(x-2)^2+y^2=3 ,圆心为(2,0) (1)。设y/x =k ,则y=kx ,当直线y=kx 与圆相切时，k有最大最小值 因为 R = |2k-0|/√(1+k^2) 所以4k^2 = 3(1+k^2) ,解得：最大k=√3　，最小k=-√3 (2)。
      设y-x=k ,则y=x+k ,把y=x+k代入x^2+y^2-4x+1=0中得： 　　2x^2 +2(k-2)x +k^2 +1=0 因为△≥0　，所以4(k-2)^2 -8(k^2+1)≥0 解得：√6-2≤k≤√6+2 ,最小k= √6-2 (3)。
      因为圆的方程为(x-2)^2+y^2=3　 　　所以设x=2+√3*cosa　，y=√3*sina 所以x^2 +y^2 = 4+4√3*cosa + 3*(cosa)^2 + 3*(sina)^2 　　　　　　 = 7 + 4√3*cosa 因为-1≤cosa≤ 1 ,所以 7-4√3≤x^2 +y^2 ≤7+4√3 所以最大(x^2+y^2)=7+4√3 ,最小(x^2+y^2)=7-4√3。
      
    2005-11-22 08:12:28
  •   本题完全可以用几何方法来解决。 x^2+y^2-4x+1=0--->(x-2)^2+y^2=3。圆心是点A(2,0),半径R=√3 1）y/x=k的几何意义是经过原点的直线的斜率。在此，它的最值显然是切线的斜率。由原点O(0,0)、圆心A(2,0)、切点T组成的直角三角形ATO中,| |OT|^2=|OA|^2-|AT|^2=2^2-(√3)^2=1 --->tan∠AOT|AT|/|OT|==√3/1=√3 所以y/x=k有最小值-√3、最大值√3。
       2)设y-x=c--->y=x+c，因此c就是此直线y=x+c在y轴上的截距。它的最值显然就在切线处。根据切线性质：圆心到切线的距离等于半径。所以 |0-2+c|/√2=√3--->|c-2|=√6--->c-2=+'-√6--->c=2+'-√6。
       所以y-x的最小值是2-√6，最大值是2+√6。 3）x^2+y^2=[√(x^2+y^2)]^2的几何意义是原点P到圆上的点P(x,y)的距离|OP|的平方，它的最值显然是经过圆心的割线的长。 |OP|max=|OA|+R=2+√3; |OP|min=|OA|-R=2-√3 x^2+y^2=|OP|^2的最小值是（2-√3)^2=7-4√3,最大值是(2+√3)^2=7+4√3。
       附注：此解法仅仅适用于圆的问题。
    2005-11-22 09:10:00
  • 换算，(x-2)^2+y^2=3 该方程是个圆。 通过作图法，问题就很好解决了。
    2005-11-21 22:25:44
  • 原方程是个圆。将后几个式子的值都定为k，并将其用y的函数表示，如：y=kx；y=x+k；x^2+y^2=k。然后作图，用k 的几何意义来解
    2005-11-21 22:22:37
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