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二份之一的导数小写等于0正确吗

2018-03-08 03:06:07韩***
二份之一的导数小写等于0正确吗：1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】2.幂函数y=x^n,y'?

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  •   1。常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】
    2。幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】
    基本导数公式
    3．指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x：导数为本身的函数之二】
    4．对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y'=1/x】
    5。
      三角函数
    (1)正弦函数y=(sinx ）y'=cosx
    (2)余弦函数y=（cosx） y'=-sinx
    (3)正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2
    (4)余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2
    6。
      反三角函数
    (1)反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2
    (2)反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2
    (3)反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1 x^2)
    (4)反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1 x^2)
    为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：
    常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式
    在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
    2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2
    3． 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'
    证：1。
      显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。
    2．这个公式的证明过程见右图。
    幂函数的求导公式证明[2]
    3．y=a^x,
    Δy=a^(x Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
    Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
    如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。
      由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1 β)。
    所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1 β)=1/loga(1 β)^1/β
    显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0时，(1 β)^1/β=e,所以limβ→0时，1/loga(1 β)^1/β=1/logae=lna。
      
    把这个结果代入limΔx→0时，Δy/Δx=limΔx→0时，a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。
    可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。
    4．y=logax
    Δy=loga(x Δx)-logax=loga(x Δx)/x=loga[(1 Δx/x)^x]/x
    Δy/Δx=loga[(1 Δx/x)^(x/Δx)]/x
    因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1 Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有
    limΔx→0Δy/Δx=logae/x。
      
    也可以进一步用换底公式
    limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)
    可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。
      
    这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
    所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。
    Δy=sin(x Δx)-sinx=2cos(x Δx/2)sin(Δx/2)
    Δy/Δx=2cos(x Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)
    所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx
    6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。
      
    7．y=tanx=sinx/cosx
    y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
    8．y=cotx=cosx/sinx
    y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
    9．y=arcsinx
    x=siny
    x'=cosy
    y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
    10．y=arccosx
    x=cosy
    x'=-siny
    y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
    11．y=arctanx
    x=tany
    x'=1/cos^2y
    y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1 tan^2x=1/1 x^2
    12．y=arccotx
    x=coty
    x'=-1/sin^2y
    y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1 cot^2y=-1/1 x^2
    另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
    4．y=u±v,y'=u'±v'
    5．y=uv,y=u'v uv'
    均能较快捷地求得结果。
      
    对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。
    y=x^n
    由指数函数定义可知，y>0
    等式两边取自然对数
    ln y=n*ln x
    等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数
    y' * (1/y)=n*(1/x)
    y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)
    幂函数同理可证
    导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率
    上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。
      
    x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1。
    建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸。
    并且要认识到导数是一个比值。
      
    2018-03-08 12:06:07
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