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数学问题求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值数学问

2009-09-17 15:39:13l***
数学问题:求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域 1,求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域 答案:[-1,√2+(1/2)] 2,求函数y=(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+6的值域 答案:[-1/4,+∞) 3,已知x+2y+3z=12,求证:x^2+2y^2+3z^2≥24 4,已知1≤x^2+y^2≤2,求x^2-xy+y^2的取值范围 答案:1/2≤x^2-xy+y^2≤3 最好解析一下 数学问题求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值数学问题:求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域1,求函数y=sinx+cosx+sin?

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  •   【1】y=sinx+cosx+sinxcosx =sinx+cosx+[(sinx+cosx)^2-1]/2 =[(sinx+cosx+1)^2]/2 -1。 当x=π或3π/2时，sinx+cosx=-1，y有最小值-1； 当x=π/4时，sinx+cosx最大值是√2，y有最大值√2+(1/2)。
       【2】y=(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+6 =[(x+1)(x-3)][(x+2)(x-4)]+6 =[(x^2-2x)-3][(x^2-2x)-8]+6 =(x^2-2x)^2-11(x^2-2x)+30 =(x^2-2x-11/2)^2-1/4 当x=1±√(13/2)时，y有最小值-1/4。
       【3】 ①x^2≥4x-4； ②2y^2≥8y-8； ③3z^2≥12z-12。 ①+②+③得 x^2+2y^2+3z^2≥4(x+2y+3z)-24=24。 【4】 记 x=ucosv，y=usinv，u＞0，0≤v≤2π； 则由 1≤x^2+y^2≤2 可得 1≤u≤√2。
       x^2-xy+y^2=(u^2)[1-(sin2v)/2] 当v=π/4或5π/4时，sin2v有最大值 1； 当同时有u=1时，x^2-xy+y^2=(u^2)[1-(sin2v)/2]有最小值1/2； 当v=3π/4或7π/4时，sin2v有最小值 -1； 当同时有u=√2时，x^2-xy+y^2=(u^2)[1-(sin2v)/2]有最大值3。
       。
    2009-09-17 16:42:58
  •   1,求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域 令：t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)--->-√2≤t≤√2 --->t²=(sin²x+cos²x)+2sinxcosx--->sinxcosx=(t²-1)/2 --->y = sinx+cosx+sinxcosx 　　　= t+(t²-1)/2 = (1/2)(t+1)²-1 --->t=-1时，y有最小值1； 　　t=√2时，y有最大值√2+(1/2) --->y的值域为[-1,√2+(1/2)] 2,求函数y=(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+6的值域 y = [(x+1)(x-3)][(x+2)(x-4)] + 6 　= (x²-2x-3)(x²-2x-8) + 6 　= [(x-1)²-4][(x-1)²-9] + 6 　= (x-1)^4-13(x-1)²+42 　= [(x-1)²-13/2]²-1/4 　≥ -1/4 --->值域为[-1/4,+∞) 3,已知x+2y+3z=12,求证:x²+2y²+3z²≥24 由柯西不等式：(x²+2y²+3z²)(1+2+3)≥(x+2y+3z)²=144 ---> x²+2y²+3z²≥24 4,已知1≤x²+y²≤2,求x²-xy+y²的取值范围 设：x=rcost，y=rsint，1≤r²≤2 --->x²-xy+y²=r²-(r²/2)sin2t=(r²/2)(2-sin2t) --->sin2t=-1,r²=2时，x²-xy+y²有最大值3 　　sin2t=1，r²=1时，x²-xy+y²有最大值1/2 --->1/2≤x²-xy+y²≤3。
      
    2009-09-17 16:06:27
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