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求最值在约束条件x>=0、y>=0及3=<x+

2010-04-11 22:51:509***
在约束条件x>=0、y>=0及3=<x+y=<5下,求函数u=x^2-xy+y^2的最值.求最值在约束条件x=0、y=0及3=x+y=5下,求函数u=x^2-xy+y^2的最值.：解:设x=a(sint)^2,y=a(?

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  • 解:设x=a(sint)^2,y=a(cost)^2,(0=2010-04-11 23:06:49
  • 约束区域 D 为梯形顶点为A(3,0),B(5,0),C(0,5),D(0,3). 边界方程为y=0,x+y=5,x=0,x+y=3， u=(x+y)^2-3xy， 在D上x+y最大值为5,xy最小值为0， 所以在B或C点处u有最大值25； u=(x+y)^2-3xy≥(x+y)^2-3[(x+y)^2]/4=[(x+y)^2]/4≥9/4 这是u在D上的下界，但是恰好在D的边界上P(3/2,3/2)点取得，所以就是最小值。
    2010-04-11 23:29:09
  • 求最大值时，u=x^2-xy+y^2=（x-y/2）^2+(√3y/2)^2,它是点（x-y/2，√3y/2）到原点是距离的平方。可知，x=5，y=0时，或者x=0，y=5时最大为25； 求最小值时u=x^2-xy+y^2=（x-y）^2+xy,可知当在每一条x+y=k的直线上，在区域内，只有x=y时上式最小。所以最小时是x=y=1.5时，此时结果为2.25。
    2010-04-11 23:22:42
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