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3z-设复数z满足-z-=1,试求-z^3-3z-2-的最值.

2011-05-30 20:15:39s***
【3z】设复数z满足|z|=1,试求|z^3-3z-2|的最值.：解: |z^3-3z-2|=|z+1|^2*|z-2|. ∵|z|=1, ∴|z+1|^2=2+?

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  • 解: |z^3-3z-2|=|z+1|^2*|z-2|. ∵|z|=1, ∴|z+1|^2=2+Re(z), |z-2|^2=5-4Re(z). 令z=x+yi,(x、y∈R),则x∈[-1,1], 故|z^3-3z-2|=(2+2x)(5-4x)^(1/2) ≤[((2x+2)+(2x+2)+(5-4x))/3]^(3/2) =3根3. 当且仅当2x+2=5-4x,即x=1/2时等号成立. 此时y=±(根3)/2. 故z=[1±(根3)i]/2时,达到最大值:3根3. 当z=-1时,达到最小值0.
    2011-05-30 21:17:00
  • 设z=cosa+isina,则 z^3-3z-2 =cos3a+isin3a-3(cosa+isina)-2 =cos3a-3cosa-2+i(sin3a-3sina), ∴w=|z^3-3z-2|^2 =(cos3a-3cosa)^2-4(cos3a-3cosa)+4+(sin3a-3sina)^2 =14-6cos2a-4cos3a+12cosa, 设t=cosa,则t∈[-1,1], w=14-6（2t^2-1）-4(4t^3-3t)+12t =-16t^3-12t^2+24t+20, w'=-48t^2-24t+24=0,2t^2+t-1=0,t=-1,或1/2. w(-1)=0,w(1/2)=27, ∴|z^3-3z-2|的最小值为0，最大值为3√3.
    2011-05-30 21:52:58
  • |z|=1=cosθ+isinθ; θθθθθθθθ z^3-3z-2=cos3θ+isin3θ-(cosθ+isinθ)*3-2
    2011-05-30 21:18:55
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