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几何问题已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它

2009-05-21 08:37:06安***
已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直.几何问题已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直.：已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直 ?

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  •   已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直 设四边形ABCD的对角线交于O，∠AOB=∠COD=a，有： AB²=AO²+BO²-2AO•BO•cosa CD²=CO²+DO²-2CO•DO•cosa BC²=CO²+BO²-2CO•BO•cos(180-a)=CO²+BO²+2CO•BO•cosa AD²=AO²+DO²-2AO•DO•cos(180-a)=AO²+DO²+2AO•DO•cosa ∵AB²+CD²=BC²+AD² --->-(AO•BO+CO•DO)cosa=(AO•DO+CO•BO)cosa --->cosa(AO•BO+CO•DO+AO•DO+CO•BO)=0 --->cosa(CO+AO)(DO+BO)=AC•BD•cosa=0 --->cosa=0--->a=90°，即对角线互相垂直。
      
    2009-05-21 10:17:05
  • 证明 设四边形ABCD的对角线交于O，∠AOD=t。由余弦定理得: AD^2=AO^2+DO^2-2AO*DO*cost (1) BC^2=BO^2+CO^2-2BO*CO*cost (2) (1)+(2)得: AD^2+BC^2= AO^2+BO^2+CO^2+DO^2-2AO*DO*cost-2BO*CO*cost (3) 同样可得: AB^2+CD^2= AO^2+BO^2+CO^2+DO^2+2AO*BO*cost+2CO*DO*cost (4) 因为 AD^2+BC^2=AB^2+CD^2,故得: 2cost*[AO*DO+BO*CO+AO*BO+CO*DO]=0, 即cost=0，故AC⊥BD。
    2009-05-21 10:58:45
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