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已知点p为抛物线y^2=4x上任意一点,以p为圆心的圆被y轴截得?

2011-02-25 01:04:43圆***
已知点p为抛物线y^2=4x上任意一点,以p为圆心的圆被y轴截得的弦长为2,试证此圆过定点已知点p为抛物线y^2=4x上任意一点,以p为圆心的圆被y轴截得的弦长为2,试证此圆过定点：设P(t^2,2t),则P到y轴的距离d=t^2,圆的半径r满足 ?

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  • 设P(t^2,2t),则P到y轴的距离d=t^2,圆的半径r满足 r^2=d^2+1, ∴圆的方程为(x-t^2)^2+(y-2t)^2=t^4+1. 取t=0,1得 x^2+y^2=1,① (x-1)^2+(y-2)^2=2.② ①-②，2x+4y=4,x=2-2y,③ 代入①，整理得 5y^2-8y+3=0,y1=1,y2=3/5, 分别代入③，x1=0,x2=4/5. 但是圆不恒过点(0,1)或(4/5,3/5),命题不成立。
    2011-02-25 07:23:19
  • 设P(t^2,2t),则P到y轴的距离d=t^2,圆的半径r满足 r^2=d^2+1, ∴圆的方程为(x-t^2)^2+(y-2t)^2=t^4+1. 展开得,(x^2+y^2-1)-2t^2*(x-2)-4ty=0 当x-2=0且y=0时,方程与t无关,可是x^2+y^2-1不为0,即不过定点！ 修改如下： 已知点p为抛物线y^2=4x上任意一点,以p为圆心的圆被y轴截得的弦长为4,试证此圆过定点。 设P(t^2,2t),则P到y轴的距离d=t^2,圆的半径r满足 r^2=d^2+4, ∴圆的方程为(x-t^2)^2+(y-2t)^2=t^4+4. 展开得,(x^2+y^2-4)-2t^2*(x-2)-4ty=0 当x-2=0且y=0时,方程与t无关,此时x^2+y^2-4=0, 即此圆过定点(2,0)！
    2011-02-25 13:01:19
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