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已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式

2018-05-20 02:04:34疯***
已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式。：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。<br/?

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  •   公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。
      
    类型一
    归纳—猜想—证明
    由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．
    类型二
    “逐差法”和“积商法”
    (1)当数列的递推公式可以化为an 1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
    a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
    且f(1) f(2) … f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
    (2)当数列的递推公式可以化为an 1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
    a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．
    类型三
    构造法
    递推式是pan=qan-1 f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．
    类型四
    可转化为类型三求通项
    (1)“对数法”转化为类型三．
    递推式为an 1=qank(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan 1=klgan lgq，令lgan=bn，则有bn 1=kbn lgq，转化为类型三．
    (2)“倒数法”转化为类型三．
    递推式为商的形式：an 1=(pan b)/(qan c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
    若b=0，得an 1=pan/(qan c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an 1=q/p c/pan,令bn=1/an,则bn 1=(c/p)bn q/p，转化为类型三．
    若b≠0，设an 1 x=y(an x)/qan c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an x，得bn 1=ybn/qan c，转化为b=0的情况．

    类型五
    递推式为an 1/an=qn/n k(q≠0,k∈N)
    可先将等式(n k)an 1=qnan两边同乘以(n k-1)(n k-2)…(n 1)，得(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1=q(n k-1)(n k-2)…(n 1)nan，令bn=(n k-1)(n k-2)…(n 1)•nan,则bn 1=(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1．
    从而bn 1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列，进而可求得an．
    总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径．
    类型一归纳—猜想—证明
    由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．
    例1设数列｛an｝是首项为1的正项数列，且(n 1)a2n 1-nan2 an 1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=______________．(2000年全国数学卷第15题)
    解：将(n 1)a2n 1-nan2 an 1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an 1 an)〔(n 1)an 1-nan〕=0．
    由于an＞0，故(n 1)an 1=nan，即an 1=n/(n 1)an．
    因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之，证明过程略．

    类型二“逐差法”和“积商法”
    (1)当数列的递推公式可以化为an 1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
    a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
    且f(1) f(2) … f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
    例2已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n-1 an-1(n≥2),证明：an=(3n-1)/2．
    (2003年全国数学卷文科第19题)
    证明：由已知得an-an-1=3n-1，故
    an=(an-an-1) (an-1－an-2) … (a2-a1) a1=3n-1 3n-2 … 3 1=3n-1/2．
    所以得证．
    (2)当数列的递推公式可以化为an 1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
    a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．
    例3(同例1)(2000年全国数学卷第15题)
    另解：将(n 1)a2n 1-nan2＋an 1an=0(n=1,2,3,…)化简，得(n 1)an 1=nan，即
    an 1/an=n/(n 1)．
    故an=an/an-1•an-1/an-2•an-2/an-3•…•a2/a1=n-1/n•n-2/n-1•n-3/n-2•…•1/2=1/n．

    类型三构造法
    递推式是pan=qan-1 f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．
    例4(同例2)(2003年全国数学卷文科第19题)
    另解：由an=3n-1 an-1得3•an/3n=an-1/3n-1 1．
    令bn＝an/3n，则有
    bn=1/3bn-1 1/3．(*)
    设bn x=1/3(bn-1 x)，则bn=1/3bn-1 1/3x-x，与(*)式比较，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2)．因此数列｛bn-1/2｝是首项为b1-1=a1/3=-1/6，公比为1/3的等比数列，所以bn-1/2=-1/6•(1/3)n-1，即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2．
    例5数列｛an｝中，a1=1,an 1=4an 3n 1，求an．
    解：令an 1 (n 1)x y=4(an nx y)，则
    an 1=4an 3nx 3y-x,与已知an 1=4an 3n 1比较，得
    3x=3，所以
    x=1,
    3y-x=1，y=(2/3)．
    故数列｛an n (2/3)｝是首项为a1 1 (2/3)=(8/3)，公比为4的等比数列，因此an n (2/3)=(8/3)•4n-1,即
    an=(8/3)•4n-1-n-(2/3)．
    另解：由已知可得当n≥2时，an=4an-1 3(n-1) 1，与已知关系式作差，有an 1-an=4(an-an-1) 3，即an 1-an 1=4(an-an-1 1)，因此数列｛an 1-an 1｝是首项为a2-a1 1=8-1 1=8，公比为4的等比数列，然后可用“逐差法”求得其通项an=(8/3)•4n-1-n-(2/3)．

    类型四可转化为
    类型三求通项
    (1)“对数法”转化为
    类型三．
    递推式为an 1=qank(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan 1=klgan lgq，令lgan=bn，则有bn 1=kbn lgq，转化为
    类型三．
    例6已知数列｛an｝中，a1=2,an 1=an2，求an．
    解：由an 1=an2＞0，两边取对数得lgan 1=2lgan．令bn=lgan则bn 1=2bn．因此数列｛bn｝是首项为b1=lga1=lg2，公比为2的等比数列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1．
    (2)“倒数法”转化为
    类型三．
    递推式为商的形式：an 1=(pan b)/(qan c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
    若b=0，得an 1=pan/(qan c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an 1=q/p c/pan,令bn=1/an,则bn 1=(c/p)bn q/p，转化为
    类型三．
    若b≠0，设an 1 x=y(an x)/qan c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an x，得bn 1=ybn/qan c，转化为b=0的情况．
    例7在数列｛an｝中，已知a1=2,an 1=(3an 1)/(an 3)，求通项an．
    解：设an 1 x=y(an x)/an 3，则an 1=(y-x)an (y-3)x/an 3，结合已知递推式得
    y-x=3,所以
    x=1,
    y-3=1，y=4，
    则有an 1 1=4(an 1)/an 3，令bn=an 1，则bn 1=4bn/bn 2，求倒数得1/bn 1=1/2•1/bn 1/4，即1/bn 1-1/2=1/2(1/bn-1/2)．
    因此数列｛1/bn-1/2｝是首项为1/b1-1/2=1/a1 1-1/2=-1/6，公比为1/2的等比数列．
    故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，从而可求得an．

    类型五递推式为an 1/an=qn/n k(q≠0,k∈N)
    可先将等式(n k)an 1=qnan两边同乘以(n k-1)(n k-2)…(n 1)，得(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1=q(n k-1)(n k-2)…(n 1)nan，令bn=(n k-1)(n k-2)…(n 1)•nan,则bn 1=(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1．
    从而bn 1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列，进而可求得an．
    例8(同例1)(2000年全国数学卷第15题)
    另解：将(n 1)a2n 1-na2n an 1an=0(n=1,2,3,…)，化简得(n 1)an 1=nan,令nan=bn，则bn 1=bn，所以数列｛bn｝是常数列，由于首项b1=1•a1=1，所以bn=1,即nan=1，故an=1/n．
    总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径．。
    2018-05-20 04:23:37
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