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高二数学椭圆题23.已知椭圆的中心为坐标原点O，交点在x轴上，斜

2007-11-25 16:58:51羧***
23.已知椭圆的中心为坐标原点O，交点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，向量OA+向量OB与向量a=（3，-1）共线。设M为椭圆上任意一点，且向量OM=λ向量OA+μ向量OB（λ，μ∈R），证明λ^2+μ^2为定值。 正确加10分，谢谢。高二数学椭圆题23.已知椭圆的中心为坐标原点O，交点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，向量OA+向量OB与向量a=（3，-1）共线。设?

最佳回答

  •   设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0),F(c,0), 则直线AB的方程为y=x-c,代入椭圆化简得 (a²+b²)x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0。
       令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2a²c/(a²+b²) x1x2=(a²c²-a²b²)/(a²+b²)。 由向量OA+向量OB=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1)。
      向量OA+向量OB与a共线,得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0。所以x1+x2=3c/2 即2a²c/(a²+b²)=3c/2。所以a²=3b²,c=√6·a/3 离心率e=√6/3 证明：由上知a²=3b²,所以椭圆x²/a²+y²/b²=1化为 x²+3y²=3b²。
      设向量OM=(x,y),由已知,得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)。 所以x=λx1+μx2 y=λy1+μy2。 因为M(x,y)在椭圆上,所以(λx1+μx2)²+3(λy1+μy2)²=3b², 即λ²(x1²+3y1²)+μ²(x2²+3y2²)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b²……(1) 由前面得x1+x2=3c/2,a²=3c²/2,b²=c²/2。
       x1x2=(a²c²-a²b²)/(a²+b²)=3c²/8, x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c) ``````````=4x1x2-3(x1+x2)c+3c² ``````````=3c²/2-9c²/2+3c² ``````````=0。
       又x1²+3y1²=3b²,x2²+3y2²=3b²,代入(1),得λ²+μ²=1是定值。 记得加分啊呵呵。
    2007-11-25 18:53:37
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