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高2数学问题3已知椭圆中心在原点焦点在坐标轴上直线y=x+1与该

2006-01-12 19:51:411***
已知椭圆中心在原点焦点在坐标轴上直线y=x+1与该椭圆交于P，Q两点且OP⊥OQ ，｜PQ｜=（根号10）/2 求椭圆方程高2数学问题3已知椭圆中心在原点焦点在坐标轴上直线y=x+1与该椭圆交于P，Q两点且OP⊥OQ，｜PQ｜=（根号10）/2求椭圆方程：设P点坐标为(x1,y1)?

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  •   设P点坐标为(x1,y1),Q点坐标为(x2,y2) 由OP⊥OQ 可知, 向量OP和向量OQ垂直,所以 x1x2 + y1y2 = 0 又由直线方程知 y1 = x1 + 1 y2 = x2 + 1 所以, x1x2 + (x1 + 1)(x2 + 1) = 0 2x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 0 ① 设椭圆方程为: mx^2 + ny^2 = 1 ( m>0 , n>0 ) 将直线方程带入得: (m+n)x^2 + 2nx + n-1 = 0 由韦达定理知: x1x2 = (n-1)/(m+n) x1+x2 = -2n/(m+n) 将两式带入①中得：2（n-1）/(m+n) + 1 - 2n/(m+n) = 0 解得： m + n = 2 ② 因为 ｜PQ｜=（根号10）/2 所以 (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 = 5/2 又因为 (y1-y2)/(x1-x2) = k（直线的斜率） = 1 所以 y1-y2 = x1-x2 所以 2(x1-x2)^2 = 5/2 (x1-x2)^2 = 5/4 因为 (x1-x2)^2 = (x1+x2)^2 - 4x1x2 所以 (x1-x2)^2 = 4n^2/(m+n)^2 - 4(n-1)^2/(m+n)^2 = 5/4 ③ 将 ② 带入 ③ 中解方程组得： n=1/2 , m=3/2 或 n=3/2 , m=1/2 所以，椭圆的方程为： 3x^2/2 + y^2/2 = 1 或 x^2/2 + 3y^2/2 = 1。
      
    2006-01-24 12:22:06
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