高中不等式问题已知n∈N,且n≥2求证1/(n+1)+1/(n
2010-04-08 13:33:22一***
已知n∈N, 且n≥2。求证
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>13/24.
高中不等式问题已知n∈N,且n≥2。求证1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)13/24.：已知n∈N, 且n≥2。求证
1/(n+1)+?
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已知n∈N, 且n≥2。求证
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>13/24. (1)
所证不等式有更强式：n≥2
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)≥7/12 (2)
简证 当n=2时，(2)式左边=1/3+1/4=7/12。
当n≥3时，由恒等式:
(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)/2
即[(n+1)+(n+2)+...+(n+n)]/[n(3n+1)/2]=1
及柯西不等式得:
[(n+1)+(n+2)+...+(n+n)]/[n(3n+1)/2]*[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]
≥2n^2/[n(3n+1)]=2n/(3n+1)=2/(3+1/n)>=2/(3+1/3)=3/5>7/12.
综上，知(2)式成立。
2010-04-08 20:39:58
可以用柯西不等式解决。由柯西不等式，
[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)][（n+1)+(n+2)+...+(2n)]>n^2(因为这里取不到等号）
而)（n+1)+(n+2)+...+(2n)=n^2+n(n+1)/2=(3n^2+n)/2
[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]>n^2/[（n+1)+(n+2)+...+(2n)]=
2n^2/(3n^2+n)=2/(3+1/n)>4/7(因为n>2).易知4/7>13/24.至此，命题得证。 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>4/7>13/24.
2010-04-08 16:49:26
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