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已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线l：y=-4?

2009-02-04 19:51:27a***
已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线l：y=-4x+1被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为3/4 （1）求抛物线C的方程。 （2）试问：是否存在定点M0，使过M0的动直线与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过原点。 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线l：y=-4x+1被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为3/4（1）求抛物线C的方程。（2）试问：是否存?

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  •   这里，我们从理论上来说明题目确实有误。然后指出楼上两位关于第二题的解答与问题所问完全无关，我们老老实实地把定点求出来。 如果M的纵坐标真的为3/4，则根据x=(y-1)/(-4) 可求出其横坐标为1/16。 将　y=-4x+1 代入　y^2=2px ，得 16x^2-(2p+8)x+1=0 ，设他的两个不同的实数根为 x1和x2， 则根据 (1)中点坐标公式　(x1+x2)/2=1/16； (2)韦达定理　x1+x2=(2p+8)/16。
       可得到　p=-3。 p=-3不符合题意，实际上直线与抛物线根本没有交点， 或者说方程组　y=-4x+1，y^2=2px　无解。 这就充分说明了楼主的题目要不是抄错了，就是题目本身就是错的。 [1] 在M的横坐标为3/4的情况下，重复上面的过程， 则根据x=(y-1)/(-4)可求出其横坐标为 -2，即 M=(3/4,-2)。
       将　y=-4x+1 代入　y^2=2px ，得 16x^2-(2p+8)x+1=0 ，设他的两个不同的实数根为 x1和x2， 则根据 (1)中点坐标公式　(x1+x2)/2=3/2； (2)韦达定理　x1+x2=(2p+8)/16。
       可得到　p=8, 即所求抛物线C的方程是 y²=16x [2] 若以PQ为直径的圆过坐标原点O，则OP⊥OQ， 设OP的斜率为k，则OQ的斜率是-1/k。 由 y=kx，y²=16x，可求得 P=(16/k^2,16/k) 由 -ky=x，y²=16x，可求得 Q=(16k^2,-16k) 先求出直线 PQ的斜率 k/(1-k^2)， 进一步求出直线 PQ的方程 (1-k^2)y=k(x-16)。
       可见满足题意的直线 PQ确实经过一个定点，那就是 M=(16,0)。
    2009-02-10 21:54:48
  • 你题目出错了吧，应该是M的横坐标为3/4吧 如果是横坐标，那么 横坐标为3/4 ===>M (3/4,-2) y²=2px y=-4x+1 ===> 16x²-(2p+8)x+1=0 x1+x2=2倍M点的横坐标=3/2 ===>(2p+8)/16=3/2 ==>p=8 ==>抛物线C的方程y²=16x 2) 以PQ为直径的圆过原点。 ==>OP⊥OQ y=kx ,y²=16x ----->P -ky=x ,y²=16x ---->Q 中点公式和K无关就解决了
    2009-02-06 09:26:38
  • 你的问题有人提过哦，我把她的答案拿来了~ 纵坐标为-2------->M(3/4 ,-2) y^=2px y=-4x+1 -------->16x^2-(2p+8)x+1=0 x1+x2=2xM =3/2 ===>(2p+8)/16=3/2 ==>p=8 ==>抛物线C的方程y^2=16x 2) 以PQ为直径的圆过原点。 ==>OP⊥OQ y=kx ,y^2=16x ----->P -ky=x ,y^2=16x ---->Q 中点公式和K无关就解决了
    2009-02-06 09:09:49
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