已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)?
2010-09-14 13:09:49东***
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(1,2)时
f(x)≤((x+1)/2)平方(1)求f(1)的值(2)证明a>0 c>0 (3)且当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求证m≤0或m≥1
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(1,2)时f(x)≤((x+1)/2)平方?
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所以f(1)=a+b+c=2b=1。 (2)证明:(1)中已证2b-1≥b2-4ac≥0又b=1/2,所以0≥b2-4ac≥0,可知 b2-4ac=0,又a+c=b,得a=1/4,c=1/4。 (3)证明:f(x)=1/4x2+1/2x+1/4。
g(x)在[-1,1]单调,及单调递增或者单调递减,也就是导函数恒大于0或者恒小于0。 对g(x)求导即g'(x)=f'(x)-mx'=1/2x+1/2-m在[-1,1]恒≥0或者恒≤0。 当恒≥0时:1/2x+1/2-m≥0,m≤1/2x+1/2,m小于1/2x+1/2的最小值,将-1代入得m≤0 当恒≤0时:1/2x+1/2-m≤0,m≥1/2x+1/2,m大于1/2x+1/2的最大值,将1代入得m≥1。
知识点:1、二次函数有2个解时,b2-4ac>0,1个解时,b2-4ac=0, 无解,也就是函数曲线与X轴不相交时,b2-4ac<0。 如题f(x)-x≥0就可知(b-1)2-4ac≤0; 2、函数的单调性,表示单调递增或者单调递减,在某一定义域内单调递增就表示这一定义域内导函数大于0, 递减就小于0, 如题(3)说函数g(x)在[-1,1]单调,就把g(x)对x求导,倒数是一个1次函数,这个1次函数在[-1,1]内不能既有正的也有负的,这样就不是单调了。
。
2010-09-14 13:10:53
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