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已知函数y＝sinx+asin2xcosx.若函数的最大值为1，?

2013-03-31 19:29:12s***
已知函数y＝sinx+asin2xcosx.若函数的最大值为1，求实数a的取值范围。已知函数y＝sinx+asin2xcosx.若函数的最大值为1，求实数a的取值范围。：显然，当sinx＝1时y＝1，从而问题就是： 求使所有x，总有y＝sinx?

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  •   显然，当sinx＝1时y＝1，从而问题就是： 求使所有x，总有y＝sinx+asin2xcosx≤1恒成立时，a的取值范围。 令t＝sinx∈[-1，1]，则 y＝sinx+2asinx(cosx)^2＝t+2at(1-t^2)， →y＝(t-1)(-2at^2-2at+1)+1。
       ∵t-1≤0，故-2at^2-2at+1≥0， 即求2at^2+2at-1≤0在t∈[-1，1]时恒成立时a的取值范围。 (1)当a＝0时，-1≤0，满足题意。 (2)当a>0时，即为 t^2+t-1/2a＝(t+1/2)^2-(1/4+1/2a)≤0， 结合a>0知，0  
       (3)当a<0时，即为 t^2+t-1/2a＝(t+1/2)^2-(1/4+1/2a)≥0， 上式在t∈[-1，1]时恒成立， 则-(1/4+1/2a)≥0， 结合a<0得，-2≤a<0。 综上所述，知所求a的取值范围为：[-2，1/4]。
    2013-03-31 20:57:46
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