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直线与椭圆的位置(2)已知某椭圆的焦点是F1（-4，0）、F2（

2005-10-28 07:03:387***
已知某椭圆的焦点是F1（-4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（X1，Y1）、C（X2，Y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列。 (1)求该椭圆的方程; (2)求弦AC中点的横坐标; (3)设弦AC的垂直平分线的方程为Ｙ＝ＫＸ＋Ｍ，求Ｍ的取值范围。直线与椭圆的位置(2)已知某椭圆的焦点是F1（-4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上?

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  •   (1)解:由椭圆定义及条件知 2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10， 得a＝5，又c＝4， 所以b＝√（a^2-c^2）=3 故椭圆方程为X^2/25+y^2/9=1 (2)解:由点B(4，yB)在椭圆上， 得｜F2B｜＝｜yB｜＝9/5 因为椭圆右准线方程为x＝25/4, 离心率为4/5。
       根据椭圆定义，有｜F2A｜＝4/5(25/4-x1), ｜F2C｜＝4/5(25/4-x2) 由｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列， 得4/5(25/4-x1)+ 4/5(25/4-x2)=2*9/5。 由此得出x1＋x2＝8． 设弦AC的中点为P(x0，y0)， 则x0＝(x1+x2)/2=8/2=4 (3):由A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上,得 9x1^2＋25y1^2＝9×25， (1) 9x2^2＋25y2^2＝9×25． (2) 由(1)－(2)得9(x1^2－x2^2)＋25(y1^2－y2^2)＝0． 即9[(x1+x2)/2]+25[(y1+y2)/2](y1-y2)/(x1-x2)] ＝0(x1≠x2) 将(x1+x2)/2=x0=4,(y1+y2)/2=y0,(y1-y2)/(x1-x2)=-1/K (k≠0)代入上式，得 9×4＋25y0(－1/K) ＝0(k≠0)． 由上式得k＝25/36y0(当k＝0时也成立)． 由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得 y0＝4k＋m， 所以m＝y0－4k＝y0－25/9 y0＝－16/9 y0． 由P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得 -9/5   。
    2005-10-28 08:45:43
  •   (1)解:由椭圆定义及条件知 2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10， 得a＝5，又c＝4， 所以b＝√（a^2-c^2）=3 故椭圆方程为X^2/25+y^2/9=1 (2)解:由点B(4，yB)在椭圆上， 得｜F2B｜＝｜yB｜＝9/5 因为椭圆右准线方程为x＝25/4, 离心率为4/5。
       根据椭圆定义，有｜F2A｜＝4/5(25/4-x1), ｜F2C｜＝4/5(25/4-x2) 由｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列， 得4/5(25/4-x1)+ 4/5(25/4-x2)=2*9/5。 由此得出x1＋x2＝8． 设弦AC的中点为P(x0，y0)， 则x0＝(x1+x2)/2=8/2=4 (3):由A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上,得 9x1^2＋25y1^2＝9×25， (1) 9x2^2＋25y2^2＝9×25． (2) 由(1)－(2)得9(x1^2－x2^2)＋25(y1^2－y2^2)＝0． 即9[(x1+x2)/2]+25[(y1+y2)/2](y1-y2)/(x1-x2)] ＝0(x1≠x2) 将(x1+x2)/2=x0=4,(y1+y2)/2=y0,(y1-y2)/(x1-x2)=-1/K (k≠0)代入上式，得 9×4＋25y0(－1/K) ＝0(k≠0)． 由上式得k＝25/36y0(当k＝0时也成立)． 由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得 y0＝4k＋m， 所以m＝y0－4k＝y0－25/9 y0＝－16/9 y0． 由P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得 -9/5   。
    2005-10-28 12:35:50
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